均勻多面體

均勻多面體是由正多邊形（可能是星形多邊形）面組成的多面體，這些面的邊長相等，並且其多面體頂點都是對稱等價的。均勻多面體包括柏拉圖立體（由相等的凸正多邊形面組成）和阿基米德立體（由不止一種型別的凸正多邊形面組成）。與這些特殊情況不同，均勻多面體不必包圍體積，並且通常在面之間存在自相交。例如，開普勒-泊松多面體（由相等的凹正多邊形或星形多邊形面組成）是均勻多面體，其外殼包圍體積，但包含對應於不屬於外殼的面的部分的內部面。Badoureau 在 19 世紀後期發現了 37 個這樣的非凸均勻多面體，其中許多是以前未知的 (Wenninger 1983, p. 55)。

Coxeter et al. (1954) 推測，在均勻多面體中，僅允許兩個面在多面體稜處相交的有 75 個，這一推測隨後得到了證明。五個五邊形稜柱也可以被認為是均勻多面體，使總數達到 80 個。此外，還有另外兩個多面體，其中四個面在一條稜處相交，即大複合二十-十二面體和小複合二十-十二面體（兩者都是兩個均勻多面體的複合體）。

均勻多面體的多面體頂點都位於一個外接球上，球心是它們的幾何中心 (Coxeter et al. 1954, Coxeter 1973, p. 44)。連線到另一個多面體頂點的多面體頂點位於一個圓上 (Coxeter et al. 1954)。

在 Wolfram 語言 中，實現了具有精確數值頂點和有時分裂成獨立多邊形的星形多邊形面的，不必需是外接球可描述的均勻多面體的版本，表示為UniformPolyhedron["name"] 或UniformPolyhedron["Uniform", n] (參見 Garcia 2019)。完整的、精確的、等邊的、外接球可描述的均勻多面體在 Wolfram 語言 中實現為PolyhedronData["name"] 或PolyhedronData["Uniform", n]。

除了一個非 Wythoffian 情況外，均勻多面體可以透過 Wythoff 的萬花筒構造方法生成。在這種構造中，一個位於特殊球面三角形 內部的初始頂點透過在三角形的三個平面側面上的重複反射對映到所有其他頂點。類似地， 及其萬花筒影像必須覆蓋球面整數倍，這被稱為 的密度 。 的密度 取決於在 、、 處角度 、、 的選擇，其中 、、 是大於 1 的約簡有理數。這樣的球面三角形稱為施瓦茨三角形，方便地表示為 。除了 的無限雙面體族，對於 , 3, 4, ...，只有 44 種施瓦茨三角形 (Coxeter et al. 1954, Coxeter 1973)。已經表明，、、 的分子僅限於 2、3、4、5（4 和 5 不能同時出現），因此有九種有理數選擇：2、3、3/2、4、4/3、5、5/2、5/3、5/4 (Messer 2002)。

75 個均勻多面體的名稱最初在 Wenninger (1983, 首次印刷於 1971 年) 中正式確定，基於 N. Johnson 幾年前準備的列表，並經過 D. Luke 的略微修改。Johnson 還建議對原始命名法進行一些修改，以納入一些額外的想法，並撤銷 Luke 一些不太成功的更改。Wenninger (1983) 中的“多面體和對偶模型列表”給出了幾個均勻多面體的修訂名稱。五個五邊形稜柱的名稱出現在 Har'El (1993) 中。

下表給出了 Wenninger (1983) 和 Har'El (1993) 以及 Maeder (1997)、Wenninger (1971)、Coxeter et al. (1954) 和 Har'El (1993) 的編號中給出的均勻多面體及其對偶的名稱。Coxeter et al. (1954) 給出了均勻立體的許多性質，Coxeter et al. (1954)、Johnson (2000) 和 Messer (2002) 給出了用於確定半條稜的中心角的四次方程。唯一的非 Wythoffian 情況是 Maeder 索引為 75 的大雙菱形二十-十二面體，其具有偽 Wythoff 符號 。

Johnson (2000) 提出了對均勻多面體及其對偶的“官方”名稱的進一步修訂，同時為每個均勻多面體設計了一個字面符號。對於每個均勻多面體，Johnson (2000) 給出了其在 Wenninger (1989) 中的編號、修改後的 Schläfli 符號（遵循 Coxeter）、字面符號及其新的指定名稱。並非每個均勻多面體都具有沒有異常（如重合的頂點或延伸到無窮大的面）的對偶。對於那些有對偶的多面體，Johnson 給出了對偶多面體的名稱。在 Johnson 的新系統中，均勻多面體分類如下

1. 正多面體（正多邊形頂點圖），

2. 擬正則多面體（矩形或雙三角形頂點圖），

3. 廣義正則多面體（對角線互相垂直的頂點圖），

4. 截角正多面體（等腰三角形頂點圖），

5. 擬擬正則多面體（梯形頂點圖），

6. 廣義擬正則多面體（蝶形頂點圖），

7. 截角擬正則多面體（不等邊三角形頂點圖），

8. 扭稜擬正則多面體（五邊形、六邊形或八邊形頂點圖），

9. 稜柱（截角單面體），

10. 反稜柱和交叉反稜柱（扭稜二面體）

以下是 Johnson 用於均勻多面體的符號的簡要描述 (Johnson)。附加到“D”或“E”的星號運算子 將五邊形 替換為五角星形 。條運算子 表示從相關圖形中移除一組（或多組）面，留下“孔”，以便另一組面取代它們的位置。因此，CO 是從截半立方體 CO 獲得的，方法是將八個三角形替換為四個六邊形。同樣，rR'CO 具有斜方立方八面體 rCO 的十二個正方形和小立方截半立方八面體 R'CO 的六個八邊形，但在它們的位置上有孔，取代了它們的六個正方形和八個三角形。“r”運算子代表“截半”：一個多面體被截斷到稜的中點。“a”、“b”和“c”運算子在雙三角形（即，具有雙三角形頂點圖）多面體的 Schläfli 符號中分別代表“altered”、“blended”和“converted”。“o”運算子代表“ossified”（以 S. L. van Oss 命名）。“s”和“t”運算子分別代表“simiated”（扭稜）和“truncated”（截角）。

撇號和首字母大寫用於某些類似於剛剛提到的運算子。例如，rXY 是“菱形-XY”，其中擬正則 XY 的面補充了一組正方形“菱形”面。同構的 r'XY 具有交叉頂點圖。“R”和“R'”運算子表示一組不同型別的補充面——六邊形、八邊形或八角星形，十邊形或十角星形。同樣，“T”和“S”運算子表示存在由更簡單的運算子“t”和“s”產生的面以外或附加的面。s'XY（“vertisnub XY”）的頂點圖是交叉多邊形，而 s*XY（“retrosnub XY”）的頂點圖相對於其外心具有密度 2。

正多面體：

擬正則多面體：

廣義正則多面體：

截角正多面體：

擬擬正則多面體： 和

廣義擬正則多面體：

截角擬正則多面體：

扭稜擬正則多面體： 或

扭稜擬正則多面體：

稜柱：

反稜柱和交叉反稜柱：