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外接球

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給定點集的 circumsphere，通常是固體的頂點，是一個穿過所有點的球體。circumsphere 並非總是存在，但當它存在時，其半徑 R 稱為circumradius，其中心稱為circumcenter。circumsphere 是 circumcircle 的三維推廣。

Circumsphere

上圖描繪了柏拉圖立體的外接球。

外接球在 Wolfram 語言中實現為外接球[pts]，其中 pts 是點列表，或者外接球[poly]，其中 poly 是一個多邊形（給出二維外接圓）或者多面體（給出三維外接球）物件。

與外接圓的方程類似，頂點為 polygon vertices (x_i,y_i,z_i)，i=1, ..., 4 的四面體的外接球方程為

|x^2+y^2+z^2 x y z 1; x_1^2+y_1^2+z_1^2 x_1 y_1 z_1 1; x_2^2+y_2^2+z_2^2 x_2 y_2 z_2 1; x_3^2+y_3^2+z_3^2 x_3 y_3 z_3 1; x_4^2+y_4^2+z_4^2 x_4 y_4 z_4 1|=0.
(1)

展開行列式，

a(x^2+y^2+z^2)-(D_xx+D_yy+D_zz)+c=0,
(2)

其中

a=|x_1 y_1 z_1 1; x_2 y_2 z_2 1; x_3 y_3 z_3 1; x_4 y_4 z_4 1|,
(3)

D_x 是從矩陣獲得的行列式

D=[x_1^2+y_1^2+z_1^2 x_1 y_1 z_1 1; x_2^2+y_2^2+z_2^2 x_2 y_2 z_2 1; x_3^2+y_3^2+z_3^2 x_3 y_3 z_3 1; x_4^2+y_4^2+z_4^2 x_4 y_4 z_4 1]
(4)

透過捨棄 x_i 列（並取正號）獲得，D_y 類似（這次取負號），D_z 也類似（再次取正號）

D_x=+|x_1^2+y_1^2+z_1^2 y_1 z_1 1; x_2^2+y_2^2+z_2^2 y_2 z_2 1; x_3^2+y_3^2+z_3^2 y_3 z_3 1; x_4^2+y_4^2+z_4^2 y_4 z_4 1|
(5)
D_y=-|x_1^2+y_1^2+z_1^2 x_1 z_1 1; x_2^2+y_2^2+z_2^2 x_2 z_2 1; x_3^2+y_3^2+z_3^2 x_3 z_3 1; x_4^2+y_4^2+z_4^2 x_4 z_4 1|
(6)
D_z=+|x_1^2+y_1^2+z_1^2 x_1 y_1 1; x_2^2+y_2^2+z_2^2 x_2 y_2 1; x_3^2+y_3^2+z_3^2 x_3 y_3 1; x_4^2+y_4^2+z_4^2 x_4 y_4 1|
(7)

且 c 由下式給出

c=|x_1^2+y_1^2+z_1^2 x_1 y_1 z_1; x_2^2+y_2^2+z_2^2 x_2 y_2 z_2; x_3^2+y_3^2+z_3^2 x_3 y_3 z_3; x_4^2+y_4^2+z_4^2 x_4 y_4 z_4|.
(8)

配方得到

a(x-(D_x)/(2a))^2+a(y-(D_y)/(2a))^2+a(z-(D_z)/(2a))^2-(D_x^2+D_y^2+D_z^2)/(4a)+c=0
(9)

這是一個球體 的形式為

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2,
(10)

中心為外心

x_0=(D_x)/(2a)
(11)
y_0=(D_y)/(2a)
(12)
z_0=(D_z)/(2a)
(13)

半徑為外接圓半徑

r=(sqrt(D_x^2+D_y^2+D_z^2-4ac))/(2|a|).
(14)

另請參閱

外心, 外接圓, 外接圓半徑, 內切球, 中切球

使用 探索

引用為

Weisstein, Eric W. "外接球。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Circumsphere.html

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