球面

球面被定義為三維歐幾里得空間 中所有點的集合，這些點與給定點（“球心”）的距離為 （“半徑”）。 半徑 的兩倍稱為 直徑，球面上 直徑 兩側的點對稱為 對徑點。

不幸的是，幾何學家和拓撲學家對於“-球面”的含義採用了不相容的約定，幾何學家指的是底層空間中座標的數量（“因此二維球面是一個圓”，Coxeter 1973, p. 125），而拓撲學家指的是表面本身的維度（“-維球面 被定義為 在 中滿足 的所有點的集合”，Hocking 和 Young 1988, p. 17；“-球面 是 ”，Maunder 1997, p. 21）。 因此，幾何學家將通常球面的表面稱為 3-球面，而拓撲學家將其稱為 2-球面，並將其表示為 。

無論選擇哪種約定來索引球面的維度數，術語“球面”僅指表面，因此通常的球面是二維表面。 因此，不鼓勵使用術語“球面”來指代球面的內部的通俗做法，球面的內部（即“實心球”）更恰當地稱為“球”。

球面在 Wolfram 語言 中實現為球面[x, y, z, r]。

半徑為 的球面的 表面積 和 球的體積 由下式給出

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（Beyer 1987, p. 130）。 在《論球與圓柱》（約公元前 225 年）中，阿基米德成為第一個推匯出這些方程的人（儘管他用球的圓形 橫截面 表示 ）。 以下事實

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阿基米德也知道（Steinhaus 1999, p. 223；Wells 1991, pp. 236-237）。

透過球面的任何 橫截面 都是一個 圓（或者，在切片 平面 與球面相切的退化情況下，是一個點）。 當定義 橫截面 的 平面 透過 直徑 時，圓 的大小最大化。

以原點為中心的半徑為 的球面的方程在 笛卡爾座標系 中由下式給出

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這是 橢球體 的特例

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和 球狀體

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以點 為中心，半徑為 的球面的笛卡爾方程由下式給出

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以原點為中心的球面也可以在 球座標系 中指定為

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其中 是從 0 到 的方位角座標（經度）， 是從 0 到 的極座標（餘緯度）， 是 半徑。 請注意，有時會使用其他幾種符號，其中 和 的符號互換，或者使用 而不是 。 如果允許 從 0 到給定 半徑 變化，則獲得實心 球。

以原點為中心的球面也可以引數化表示，令 ，因此

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其中 從 0 到 變化， 從 到 變化。

球面在 維中的推廣稱為 超球面。 -維 超球面，也稱為 -球面（在幾何學家的約定中），以原點為中心，因此可以透過方程指定

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當然，拓撲學家會認為這個方程描述的是一個 -球面。

球體的體積，，可以使用 笛卡爾座標、圓柱座標 和 球座標 分別使用積分找到

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半徑為 和質量為 的球體內部的慣性張量為

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轉換為“標準”引數變數 ， 和 給出第一基本形式的係數

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第二基本形式係數

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面積元素

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高斯曲率

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和 平均曲率

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給定球面上兩點，連線它們的球表面上的最短路徑（測地線）是 圓 的 弧，稱為 大圓。 以 和 為 直徑 上的點的球面方程由下式給出

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四個點足以唯一確定一個球面。 給定點 ，其中 、2、3 和 4，包含它們的球面由美麗的 行列式 方程給出

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（Beyer 1987, p. 210）。