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圓錐-球體相交

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ConeSphereIntersection
ConeSphereIntersectionCurv

設一個開口引數為 c 且頂點位於 (0,0,0) 的圓錐與一個半徑為 r 且中心位於 (x_0,y_0,z_0) 的球體相交，其中圓錐的軸線不透過球體的中心。則交線的方程為

(x^2+y^2)/(c^2)=z^2
(1)
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2.
(2)

結合 (1) 和 (2) 得到

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(x^2+y^2)/(c^2)-(2z_0)/csqrt(x^2+y^2)+z_0^2=r^2
(3)
x^2(1+1/(c^2))-2x_0x+y^2(1+1/(c^2))-2y_0y+(x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2)-(2z_0)/csqrt(x^2+y^2)=0.
(4)

因此，x 和 y 透過一個複雜的四次方程相聯絡，而 x、y 和 z 透過一個二次方程相聯絡。

如果圓錐-球體相交是軸向的，即一個開口引數為 c 且頂點位於 (0,0,z_0) 的圓錐的軸線沿著球體的半徑方向，該球體的半徑為 r 且中心位於 (0,0,0)，則交線的方程為

(z-z_0)^2=(x^2+y^2)/(c^2)
(5)
x^2+y^2+z^2=r^2.
(6)

結合 (5) 和 (6) 得到

c^2(z-z_0)^2+z^2=r^2
(7)
c^2(z^2-2z_0z+z_0^2)+z^2=r^2
(8)
z^2(c^2+1)-2c^2z_0z+(z_0^2c^2-r^2)=0.
(9)

使用二次方程得到

z=(2c^2z_0+/-sqrt(4c^4z_0^2-4(c^2+1)(z_0^2c^2-r^2)))/(2(c^2+1))
(10)
=(c^2z_0+/-sqrt(c^2(r^2-z_0^2)+r^2))/(c^2+1).
(11)

因此，交線是平面的。將 (11) 代入 (◇) 表明該曲線實際上是一個圓，其半徑由下式給出

a=sqrt(r^2-z^2).
(12)

參見

圓錐, 球體

使用 探索

參考文獻

Kenison, E. 和 Bradley, H. C. 畫法幾何。 New York: Macmillan, pp. 282-283, 1935.

在 中引用

圓錐-球體相交

請引用為

Weisstein, Eric W. "圓錐-球體相交。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Cone-SphereIntersection.html

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