圓

圓是平面上到給定點 距離相等的點的集合。從圓心到圓上點的距離 稱為半徑，點 稱為圓心。兩倍半徑稱為直徑 。一個圓從其圓心所對的角度是一個周角，等於 或 弧度。

對於給定的周長，圓具有最大可能的面積，對於給定的面積，圓具有最小可能的周長。

圓的周長 稱為圓周長，由下式給出

(1)

這可以使用微積分，使用極座標中的弧長公式計算：

(2)

但是由於 ，這變得簡單地為

(3)

圓的圓周長與直徑之比 隨著圓的大小變化而保持恆定（因為它必須如此，因為將平面圖形按比例因子 縮放會將其周長增加 倍），並且 也按 縮放。這個比率用 (pi) 表示，並且已被證明是超越數。

知道 ，圓的面積可以通過幾何或使用微積分來計算。如上圖所示，當同心條帶的數量增加到無窮大時，它們形成一個三角形，因此

(4)

這個推導最早由阿基米德在《圓的測量》中記錄（約公元前 225 年）。

如果將圓切割成楔形，當楔形的數量增加到無窮大時，會得到一個矩形，因此

(5)

從微積分來看，面積可以直接從公式得出

(6)

再次使用極座標。

圓也可以看作是正多邊形的極限情況，其內切圓半徑 和外接圓半徑 隨著邊數 趨於無窮大（技術上稱為無限邊形的圖形）。這然後給出了圓周長為

			(7)
			(8)

和面積為

			(9)
			(10)

由於半徑 和 隨著 收斂到相同的半徑，因此它們是等價的。

不幸的是，幾何學家和拓撲學家對於“-球面”的含義採用了不相容的約定，幾何學家指的是底層空間中座標的數量，而拓撲學家指的是表面本身的維度（Coxeter 1973，第 125 頁）。因此，幾何學家稱通常圓的圓周為 2-球面，而拓撲學家將其稱為 1-球面，並將其表示為 。

圓是透過圓錐與垂直於圓錐對稱軸的平面相交而獲得的圓錐曲線。它也是一條李薩如曲線。圓是橢圓的退化情況，其半長軸和半短軸相等（即，離心率為 0）。圓的內部稱為圓盤。圓到三維的推廣稱為球體，到 維（對於 ）稱為超球體。

兩個圓的交集區域稱為透鏡形。三個對稱放置的圓的交集區域（如韋恩圖中所示），在每個圓的中心位於其他兩個圓的交點處的特殊情況下，稱為勒洛三角形。

在笛卡爾座標中，以 為圓心，半徑為 的圓的方程為

(11)

在垂足座標中，垂足點位於圓心，方程為

(12)

以 為直徑的圓由下式給出

(13)

半徑為 的圓的引數方程可以由下式給出

			(14)
			(15)

圓也可以透過有理函式引數化

			(16)
			(17)

但橢圓曲線不能。

上面的圖顯示了圓的法向量和切向量序列。

由 (◇) 和 (◇) 引數表示的半徑為 的圓的弧長 、曲率 和切線角 為

			(18)
			(19)
			(20)

Cesàro 方程是

(21)

在極座標中，圓的方程具有特別簡單的形式。

(22)

是以原點為圓心的半徑為 的圓，

(23)

是以 為圓心的半徑為 的圓，並且

(24)

是以 為圓心的半徑為 的圓。

透過三個點 （對於 、2、3）的圓的方程（由這些點確定的三角形的外接圓）是

(25)

可以透過分配二次曲線的係數來識別此圓的圓心和半徑

(26)

其中 且 （因為沒有 交叉項）。配方法給出

(27)

然後可以將圓心識別為

			(28)
			(29)

和半徑為

(30)

其中

			(31)
			(32)
			(33)
			(34)

位於一個圓上的四個或更多個點被稱為共圓點。三個點自然是共圓的，因為三個非共線點確定一個圓。

在三線座標中，每個圓都具有以下形式的方程

(35)

其中 (Kimberling 1998, p. 219)。

由方程 (35) 給出的圓的圓心 由下式給出

			(36)
			(37)
			(38)

(Kimberling 1998, p. 222)。

在精確三線座標 中，透過具有精確三線座標 、 和 的三個非共線點的圓的方程為

(39)

(Kimberling 1998, p. 222)。

Kimberling (1998, p. 223) 給出了圓心為 、半徑為 的三線圓的方程。