曲率

一般來說，曲率主要有兩種重要的型別：外在曲率和內在曲率。二維和三維空間中曲線的外在曲率是歷史上最早被研究的曲率型別，最終形成了弗雷內公式，該公式完全根據空間曲線的“曲率”、撓率以及初始起點和方向來描述空間曲線。

在研究了二維和三維曲線的曲率之後，注意力轉向了三維空間中曲面的曲率。從這項研究中得出的主要曲率是平均曲率、高斯曲率和形狀運算元。平均曲率在當時的應用中最為重要，也是研究最多的，但高斯是第一個認識到高斯曲率重要性的人。

由於高斯曲率是“內在的”，因此對於曲面的二維“居民”來說是可以檢測到的，而平均曲率和形狀運算元對於無法研究他所居住曲面周圍的三維空間的人來說是無法檢測到的。高斯曲率對於居民的重要性在於它控制著居民周圍球體的表面積。

黎曼和許多其他人將曲率的概念推廣到截面曲率、標量曲率、黎曼張量、裡奇曲率張量以及許多其他內在和外在曲率。一般的曲率不再需要是數字，可以採用對映、群、格群、張量場等形式。

最簡單的曲率形式，也是通常在微積分中首先遇到的曲率形式是外在曲率。在二維中，設平面曲線由笛卡爾引數方程 和 給出。那麼曲率 ，有時也稱為“第一曲率”（Kreyszig 1991，p. 47），定義為

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)

其中 是切向角， 是弧長。正如從定義中可以很容易看出的那樣，曲率的單位是距離的倒數。上述方程中的 導數可以使用以下恆等式找到

			(5)
			(6)
			(7)

因此

(8)

並且

			(9)
			(10)
			(11)
			(12)

將方程 (◇)、3)、(10) 和 (12) 組合起來，得到

(13)

對於以 形式編寫的二維曲線，曲率方程變為

(14)

如果二維曲線改為在極座標中引數化，則

(15)

其中 （Gray 1997，p. 89）。在踏瓣座標中，曲率由下式給出

(16)

由 隱式給出的二維曲線的曲率由下式給出

(17)

（Gray 1997）。

現在考慮三維空間中引數化的空間曲線 ，其切向量 定義為

(18)

因此，

			(19)
			(20)
			(21)

其中 是法向量。但是

			(22)
			(23)

因此，對兩邊取範數得到

(24)

求解 得到

			(25)
			(26)
			(27)

（Gray 1997，p. 192）。

二維曲線的曲率與曲線的密切圓的曲率半徑有關。考慮一個由引數方程指定的圓

(28)

(29)

它在給定點與曲線相切。那麼曲率為

(30)

或曲率半徑的倒數。圓的曲率也可以用向量表示法重複。對於 的圓，弧長為

			(31)
			(32)
			(33)

因此 ，圓的方程可以重寫為

(34)

(35)

那麼半徑向量由下式給出

(36)

切向量為

			(37)
			(38)

因此曲率與曲率半徑 的關係為

			(39)
			(40)
			(41)
			(42)

正如預期的那樣。

微分幾何中與弗雷內公式相關的四個非常重要的導數關係是

			(43)
			(44)
			(45)
			(46)

其中 是切向量， 是法向量， 是副法向量， 是撓率 (Coxeter 1969, p. 322)。

當透過法線的平面變化時，曲面上一點的曲率會呈現出各種各樣的值。當 變化時，它會達到最小值和最大值（它們在垂直方向），稱為主曲率。正如 Coxeter (1969, pp. 352-353) 中所示，

(47)

(48)

其中 是高斯曲率， 是平均曲率，det 表示行列式。

曲率 有時稱為第一曲率，撓率 稱為第二曲率。此外，還定義了第三曲率（有時稱為總曲率）

(49)

也被定義。出現在笛卡爾圓定理中的圓曲率的帶符號版本，用於四個相互相切的圓中第四個圓的半徑，稱為彎曲度。