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笛卡爾圓定理

阿波羅尼斯問題的一個特例，需要確定一個與三個互相相切的圓相切的圓（也稱為親吻圓問題）。存在兩個解：一個是被三個原始圓包圍的小圓，以及一個包圍原始三個圓的大圓。弗雷德里克·索迪給出了用於計算所謂內索迪圓和外索迪圓的半徑的公式，已知其他三個圓的半徑。其關係是

2(kappa_1^2+kappa_2^2+kappa_3^2+kappa_4^2)=(kappa_1+kappa_2+kappa_3+kappa_4)^2,

其中 kappa_i=1/r_i 是半徑為 r_i 的圓的曲率。這裡，負解對應於外索迪圓，正解對應於內索迪圓。

這個公式為笛卡爾和韋達所知（Boyer 和 Merzbach 1991, p. 159），但索迪將其擴充套件到球體。在 n 維空間中，總是可以找到 n+2 個互相相切的 n-球體，並且它們的曲率關係是

n(sum_(i=1)^(n+2)kappa_i^2)=(sum_(i=1)^(n+2)kappa_i)^2.

另請參閱

阿波羅尼斯問題, 四幣問題, 算額問題, 索迪圓, 球體堆積, 相切圓

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參考文獻

Boyer, C. B. and Merzbach, U. C. A History of Mathematics, 2nd ed. New York: Wiley, 1991.Coxeter, H. S. M. "The Problem of Apollonius." Amer. Math. Monthly 75, 5-15, 1968.Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 13-16, 1969.Fukagawa, H. and Pedoe, D. "The Descartes Circle Theorem." §1.7 in Japanese Temple Geometry Problems. Winnipeg, Manitoba, Canada: Charles Babbage Research Foundation, pp. 16-17 and 92, 1989.Rothman, T. "Japanese Temple Geometry." Sci. Amer. 278, 85-91, May 1998.Wilker, J. B. "Four Proofs of a Generalization of the Descartes Circle Theorem." Amer. Math. Monthly 76, 278-282, 1969.Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. New York: Dover, pp. 50-51, 1979.

在 中被引用

笛卡爾圓定理

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "笛卡爾圓定理。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/DescartesCircleTheorem.html

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