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阿波羅尼奧斯問題

ApolloniusCircles
ApolloniusCircles8

給定三個物件，每個物件可以是點、線或圓，繪製一個與每個物件相切的圓。共有十種情況。最簡單的兩種情況涉及三個點或三條線，最難的情況涉及三個圓。歐幾里得在他的《幾何原本》中解決了最簡單的兩種情況，其他情況（除了三個圓的問題）出現在阿波羅尼奧斯的《切觸》中，但該書已遺失。原則上，一般問題可以透過直尺和圓規單獨解決。

ApolloniusCircleConstr

三圓問題由韋達 (Boyer 1968) 解決，其解稱為阿波羅尼奧斯圓。共有八個解。最簡單的解是透過求解以下三個聯立二次方程獲得

(x-x_1)^2+(y-y_1)^2-(r+/-r_1)^2=0
(1)
(x-x_2)^2+(y-y_2)^2-(r+/-r_2)^2=0
(2)
(x-x_3)^2+(y-y_3)^2-(r+/-r_3)^2=0
(3)

在三個未知數 x、y、r 中，對於符號的八個三元組 (Courant and Robbins 1996)。展開方程得到

(x^2+y^2-r^2)-2xx_i-2yy_i∓2rr_i+(x_i^2+y_i^2-r_i^2)=0
(4)

對於 i=1, 2, 3。由於第一項對於每個方程都相同，取 (2)-(1) 和 (3)-(1) 得到

ax+by+cr=d
(5)
a^'x+b^'y+c^'r=d^',
(6)

其中

a=2(x_1-x_2)
(7)
b=2(y_1-y_2)
(8)
c=2(+/-r_1+/-r_2)
(9)
d=(x_1^2+y_1^2-r_1^2)-(x_2^2+y_2^2-r_2^2)
(10)

以及類似的 a^'、b^'、c^' 和 d^' （其中下標 2 被 3 替換）。求解這兩個聯立線性方程組得到

x=(b^'d-bd^'-b^'cr+bc^'r)/(ab^'-ba^')
(11)
y=(-a^'d+ad^'+a^'cr-ac^'r)/(ab^'-a^'b),
(12)

然後可以將其代回二次方程 (1) 中，並使用二次公式求解。

最優雅的解法可能歸功於熱爾崗日。它透過定位三個給定圓的六個位似中心（三個內位似中心和三個外位似中心）來進行。這些中心三個一組地位於四條線上（如上圖所示）。確定其中一條線相對於三個圓中每一個的反演極點，並將反演極點與根心連線起來。圓的根心。如果連線線相交，則三對交點是八個圓中兩個圓的切點 (Petersen 1879, Johnson 1929, Dörrie 1965)。要確定哪兩對是由這三對產生的八個阿波羅尼奧斯圓，只需取僅在單個切點與原始三個圓相交的兩個圓即可。重複該過程，得到另外三對圓。

如果三個圓彼此相切，則八個解坍縮為兩個，稱為索迪圓。

拉莫爾 (1891) 和拉奇蘭 (1893, pp. 244-251) 考慮了四個圓具有公共相切圓的問題。

另請參閱

阿波羅尼奧斯點, 阿波羅尼奧斯追逐問題, 彎曲, 凱西定理, 圓三角形, 笛卡爾圓定理, 四幣問題, 哈特圓, 哈特定理, 索迪圓

透過 探索

參考文獻

Altshiller-Court, N. College Geometry: A Second Course in Plane Geometry for Colleges and Normal Schools, 2nd ed., rev. enl. New York: Barnes and Noble, p. 226, 1952.Boyer, C. B. A History of Mathematics. New York: Wiley, p. 159, 1968.Courant, R. and Robbins, H. "Apollonius' Problem." §3.3 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 117 and 125-127, 1996.Dörrie, H. "The Tangency Problem of Apollonius." §32 in 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover, pp. 154-160, 1965.F. Gabriel-Marie. Exercices de géométrie. Tours, France: Maison Mame, pp. 18-20 and 663, 1912.Gauss, C. F. Werke, Band 4. New York: George Olms, p. 399, 1981.Gergonne, M. "Recherche du cercle qui en touche trois autres sur une sphère." Ann. math. pures appl. 4, 1813-1814.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 118-121, 1929.Lachlan, R. "Circles with Touch Three Given Circles" and "Systems of Four Circles Having a Common Tangent Circle." §383-396 in An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. London: Macmillian, pp. 241-251, 1893.Larmor, A. "Contacts of Systems of Circles." Proc. London Math. Soc. 23, 136-157, 1891.Ogilvy, C. S. Excursions in Geometry. New York: Dover, pp. 48-51, 1990.Pappas, T. The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 151, 1989.Petersen, J. Example 403 in Methods and Theories for the Solution of Problems of Geometrical Constructions, Applied to 410 Problems. London: Sampson Low, Marston, Searle & Rivington, pp. 94-95, 1879.Rouché, E. and de Comberousse, C. Traité de géométrie plane. Paris: Gauthier-Villars, pp. 297-303, 1900.Salmon, G. Conic Sections, 6th ed. New York: Chelsea, pp. 88-135, 1960.Simon, M. Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert. Leipzig: Teubner, pp. 97-105, 1906.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 4-5, 1991.

在 上被引用

阿波羅尼奧斯問題

請引用為

Weisstein, Eric W. "阿波羅尼奧斯問題。" 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/ApolloniusProblem.html

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