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凱西定理

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四個圓 c_1、 c_2、 c_3 和 c_4 與第五個圓或一條直線直線當且僅當相切時，

T_(12)T_(34)+/-T_(13)T_(42)+/-T_(14)T_(23)=0.
(1)

其中 T_(ij) 是圓 圓 i 和 j 的公切線的長度 (Johnson 1929, pp. 121-122)。以下情況是可能的：

1. 如果所有的 Ts 都是外公切線，那麼 c_5 與所有圓都有同向接觸，

2. 如果來自一個圓的 Ts 是內公切線，而其他三個是外公切線，那麼這個圓與 c_5 的接觸方式與其他三個不同，

3. 如果給定的圓可以成對配對，使得每對圓的公切線是外公切線，而其他四個是內公切線，那麼每對的成員與 c_5 具有同向接觸

(Johnson 1929, p. 125)。

CaseysTheorem

上面顯示的凱西定理的特殊情況是在群馬縣 1874 年的算額問題中給出的。在這種形式中，一個圓繪製在一個正方形內部，然後在其周圍繪製四個圓，每個圓都與正方形的兩條邊相切。對於邊長為 a 且左下角位於 (0,0) 的正方形，其中包含一個半徑為 r 中心為 (x,y) 的中心圓，可以透過求解以下方程找到四個圓的半徑和位置：

(1-r_4-x)^2+(y-r_4)^2=(r+r_4)^2
(2)
(1-r_1-x)^2+(1-r_1-y)^2=(r+r_1)^2
(3)
(x-r_3)^2+(y-r_3)^2=(r+r_3)^2
(4)
(x-r_2)^2+(1-r_2-y)^2=(r+r_2)^2.
(5)

定理的四個 T_(ij) 對於該圖立即給出為

T_(12)=a-r_1-r_2
(6)
T_(34)=a-r_3-r_4
(7)
T_(14)=a-r_1-r_4
(8)
T_(23)=a-r_2-r_3.
(9)

剩餘的 T_(13) 和 T_(24) 可以如圖右所示找到。設 c_(ij) 是從 O_i 到 O_j 的距離，則

c_(13)^2=(a-r_1-r_3)^2+(a-r_1-r_3)^2
(10)
=2(a-r_1-r_3)^2
(11)
c_(24)^2=(a-r_2-r_4)^2+(a-r_2-r_4)^2
(12)
=2(a-r_2-r_4)^2,
(13)

因此

T_(13)=sqrt(c_(13)^2-(r_3-r_1)^2)
(14)
=sqrt(2(a-r_1-r_3)^2-(r_3-r_1)^2)
(15)
T_(24)=sqrt(c_(24)^2-(r_2-r_4)^2)
(16)
=sqrt(2(a-r_2-r_4)^2-(r_2-r_4)^2).
(17)

由於四個圓都與 c_5 外切，因此要使用的凱西定理的相關形式具有符號 (+,-)，因此我們有以下等式：

(a-r_1-r_2)(a-r_3-r_4)+(a-r_1-r_4)(a-r_2-r_3) -sqrt([2(a-r_1-r_3)^2-(r_3-r_1)^2][2(a-r_2-r_4)^2-(r_2-r_4)^2])=0
(18)

(Rothman 1998)。然後求解 a 得到關係式

a=(2(r_1r_3-r_2r_4)+sqrt(2(r_1-r_2)(r_1-r_4)(r_3-r_2)(r_3-r_4)))/(r_1-r_2+r_3-r_4)
(19)

Durell (1928) 將以下定理稱為凱西定理：如果 t 是半徑為 a 和 b 的兩個圓的公切線長度，t^' 是它們相對於任何點的反演的對應公切線長度，並且 a^' 和 b^' 是它們反演的半徑，那麼

(t^2)/(ab)=(t^('2))/(a^'b^').
(20)

另請參閱

普爾瑟定理, 相切圓

使用 探索

參考文獻

Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p. 103, 1888.Casey, J. A Treatise on the Analytical Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, Containing an Account of Its Most Recent Extensions, with Numerous Examples, 2nd ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p. 125, 1893.Coolidge, J. L. A Treatise on the Geometry of the Circle and Sphere. New York: Chelsea, p. 37, 1971.Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, p. 117, 1928.Fukagawa, H. and Pedoe, D. "Many Circles and Squares (Casey's Theorem)." §3.3 in Japanese Temple Geometry Problems. Winnipeg, Manitoba, Canada: Charles Babbage Research Foundation, pp. 41-42 and 120-1989.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 121-127, 1929.Lachlan, R. An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. London: Macmillian, pp. 244-251, 1893.Rothman, T. "Japanese Temple Geometry." Sci. Amer. 278, 85-91, May 1998.

在 上引用

凱西定理

請引用為

Weisstein, Eric W. "凱西定理." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CaseysTheorem.html

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