主題
Search

直線

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram 筆記本

直線是沒有粗細且在兩個方向無限延伸的直的一維圖形。直線有時被稱為直線，或者更古老地稱為正線 (Casey 1893)，以強調它在其長度上的任何地方都沒有“彎曲”。雖然直線本質上是一維物件，但它們可以嵌入到更高維度的空間中。

Harary (1994) 將圖的邊稱為“直線”。

Line

一條直線由兩個點唯一確定，穿過點 A 和 B 的直線表示為 <->; AB。類似地，以這些點為端點的有限線段的長度可以表示為 AB^_。直線也可以用單個小寫字母表示 (Jurgensen et al. 1963, p. 22)。

歐幾里得將直線定義為“無寬度的長度”，將直線定義為“在其自身上的點上均勻延伸”的線 (Kline 1956, Dunham 1990)。

首先考慮二維平面中的直線。位於同一平面內且互不相交的兩條直線稱為平行線。位於不同平面內且互不相交的兩條直線稱為異面直線。

LineIntercepts

x 軸截距為 a，y 軸截距為 b 的直線由截距式給出

x/a+y/b=1.
(1)

截距式的直線通常會被改寫成所謂的標準式

ax+by=c.
(2)

穿過 (x_1,y_1) 且斜率為 m 的直線由點斜式給出

y-y_1=m(x-x_1).
(3)

y 軸截距為 y，斜率為 b 的直線由斜截式給出

y=mx+b.
(4)

穿過 (x_1,y_1) 和 (x_2,y_2) 的直線由兩點式給出

y-y_1=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)(x-x_1).
(5)

引數形式由下式給出

x=x_0+at
(6)
y=y_0+bt.
(7)

其他形式有

a(x-x_1)+b(y-y_1)=0
(8)
ax+by+c=0
(9)
|x y 1; x_1 y_1 1; x_2 y_2 1|=0.
(10)

二維直線也可以表示為向量。沿直線的向量

ax+by=0
(11)

由下式給出

t[-b; a],
(12)

其中 t in R。類似地，形式為

t[a; b]
(13)

的向量與該直線垂直。

三點共線的條件是

|x_1 y_1 1; x_2 y_2 1; x_3 y_3 1|=0.
(14)

直線之間的夾角

A_1x+B_1y+C_1=0
(15)
A_2x+B_2y+C_2=0
(16)

是

tantheta=(A_1B_2-A_2B_1)/(A_1A_2+B_1B_2).
(17)

連線三線座標為 alpha_1:beta_1:gamma_1 和 alpha_2:beta_2:gamma_2 的點的直線是滿足以下條件的點集 alpha:beta:gamma

|alpha beta gamma; alpha_1 beta_1 gamma_1; alpha_2 beta_2 gamma_2|=0
(18)
(beta_1gamma_2-gamma_1beta_2)alpha+(gamma_1alpha_2-alpha_1gamma_2)beta+(alpha_1beta_2-beta_1alpha_2)gamma=0.
(19)

穿過點 P_1 且方向為 (a_1,b_1,c_1) 的直線與穿過點 P_2 且方向為 (a_2,b_2,c_2) 的直線相交，當且僅當

|x_2-x_1 y_2-y_1 z_2-z_1; a_1 b_1 c_1; a_2 b_2 c_2|=0.
(20)

穿過點 alpha^':beta^':gamma^' 且平行於

lalpha+mbeta+ngamma=0
(21)

是

|alpha beta gamma; alpha^' beta^' gamma^'; bn-cm cl-an am-bl|=0.
(22)

直線

lalpha+mbeta+ngamma=0
(23)
l^'alpha+m^'beta+n^'gamma=0
(24)

平行，如果

a(mn^'-nm^')+b(nl^'-ln^')+c(lm^'-ml^')=0
(25)

對於所有 (a,b,c)，並且垂直，如果

(ll^'+mm^'+nn^')-(mn^'+m^'n)cosA-(nl^'+n^'l)cosB-(lm^'+l^'m)cosC=0
(26)

對於所有 (a,b,c) (Sommerville 1961, Kimberling 1998, p. 29)。

穿過點 alpha^':beta^':gamma^' 且垂直於 (◇) 的直線由下式給出

|alpha beta gamma; alpha^' beta^' gamma^'; l-mcosC-ncosB m-ncosA-lcosC n-lcosB-mcosA|=0.
(27)

在三維空間中，穿過點 (x_0,y_0,z_0) 且平行於非零向量 v=(a,b,c) 的直線具有引數方程

x=x_0+at
(28)
y=y_0+bt
(29)
z=z_0+ct,
(30)

簡明地寫成

x=x_0+vt.
(31)

類似地，三維空間中穿過 (x_1,y_1) 和 (x_2,y_2) 的直線具有引數向量方程

x=x_1+(x_2-x_1)t,
(32)

其中此引數化對應於 x(t=0)=x_1 和 x(t=1)=x_2。

另請參閱

漸近線, 割線, Brocard 線, Cayley 線, 共線, 共點, 臨界線, Desargues 定理, Erdős-Anning 定理, 尤拉線, 流線, Gergonne 線, 虛線, 等角線, 各向同性線, Lemoine 軸, 直線-直線相交, 直線-平面相交, 線段, 線段範圍, 通常線, Pascal 線, 垂足線, 線束, Philo 線, 點, 點到直線距離--二維, 點到直線距離--三維, 平面, Plücker 線, 極線, 根軸, 射線, 實數線, 割線, Simson 線, 異面直線, Soddy 線, Solomon's Seal 線, 標準式, Steiner 集, Steiner 定理, Sylvester 直線問題, Symmedian, 切線, 橫截線, 三線線, 世界線 在 課堂中探索此主題

本條目的部分內容由 Christopher Stover 貢獻

使用 探索

參考文獻

Casey, J. "The Right Line." Ch. 2 in 關於點、線、圓和圓錐曲線的解析幾何的專著，包含其最新擴充套件的說明，以及大量示例，第 2 版，修訂和擴充。 Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 30-95, 1893.Dunham, W. 天才之旅：偉大的數學定理。 New York: Wiley, p. 32, 1990.Harary, F. 圖論。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.Jurgensen, R. C.; Donnelly, A. J.; and Dolciani, M. P. 現代幾何：結構與方法。 Boston, MA: Houghton-Mifflin, p. 22, 1963.Kern, W. F. and Bland, J. R. "Lines and Planes in Space." §4 in 帶證明的立體幾何測量，第 2 版。 New York: Wiley, pp. 9-12, 1948.Kimberling, C. "Triangle Centers and Central Triangles." Congr. Numer. 129, 1-295, 1998.Kline, M. "The Straight Line." Sci. Amer. 156, 105-114, Mar. 1956.MacTutor History of Mathematics Archive. "Straight Line." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Straight.html.Sommerville, D. M. Y. 解析圓錐曲線，第 3 版。 London: G. Bell and Sons, p. 186, 1961.Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Linear Function bx+c and Its Reciprocal." Ch. 7 in 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 53-62, 1987.

請引用為

Stover, Christopher 和 Weisstein, Eric W. "Line." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Line.html

主題分類