三線座標

給定一個參考三角形 ，點 相對於 的三線座標是一個有序的三元組數字，每個數字與點 到其中一條邊的有向距離成比例。三線座標表示為 或 ，也稱為齊次座標或“三線”。三線座標由普呂克在 1835 年引入。由於只有距離的比率是重要的，因此將給定的三線座標三元組乘以任何非零常數所獲得的三元組描述的是同一個點，因此

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為了簡單起見，三角形的三個多邊形頂點 、 和 通常分別寫為 、 和 。

三線座標可以被歸一化，使其給出從 到每條邊的實際有向距離。為了執行歸一化，設上圖中的點 具有三線座標 ，並且到邊 、 和 的距離分別為 、 和 。那麼距離 、 和 可以透過將 寫為 的面積，並且對於 和 類似。然後我們有

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所以

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其中 是 的面積， 、 和 是其邊長（Kimberling 1998，第 26-27 頁）。要獲得給出實際距離的三線座標，取 ，所以我們得到座標

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這些歸一化的三線座標被稱為精確三線座標。

直線的三線座標

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是

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其中 是從多邊形頂點 到直線的點到直線距離。

對應於三線座標 的齊次重心座標是 ，而對應於齊次重心座標 的三線座標是 。

三角形的重要點 被稱為三角形中心，而描述點的位置與邊長、角或兩者相關的向量函式被稱為三角形中心函式 。由於根據對稱性，三角形中心函式的形式為

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通常將標量函式 稱為“三角形中心”函式。另請注意，邊長和角可以透過餘弦定理相互轉換，因此三角形中心函式可以用邊長、角或兩者來表示。下表總結了一些常見三角形中心的三線座標，其中 、 和 是對應頂點的角，而 、 和 是對邊邊長。這裡，選擇歸一化以給出簡單的形式。

三角形中心	三角形中心函式
外心
德朗尚點
等周點
費爾巴哈點
內心	1
等周長點
外切圓點
九點中心
垂心
三角形重心	,

在三線座標中，頂點的座標為 1:0:0 ()、 0:1:0 () 和 0:0:1 ()。沿邊線延伸距離 的三線座標如上圖所示。

沿邊線的 、 和 分數距離處的點的三線座標在上面的圖中給出，其中 。

位於沿邊線 從 到 的距離的 分數處的點具有三線座標

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為了確定三線座標到笛卡爾座標的轉換，將三角形定向為 軸平行於 軸，並且其內心位於原點，如上圖所示。然後

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其中

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是內切圓半徑， 是三角形面積，並且

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（Kimberling 1998，第 31-33 頁）。

更一般地，要將三線座標轉換為給定三角形的向量位置，該三角形由其軸的 和 座標指定，沿邊選取兩個單位向量。例如，選取

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其中這些是單位向量 和 。假設三角形已被標記，使得 是右上角多邊形頂點，而 。然後，透過沿邊線行進 和 然後向內垂直於它們的向量必須相交

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解方程組

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得到

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但是 和 是單位向量，所以

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然後點 的向量座標為

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