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內切圓半徑

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多邊形的內切圓或多面體的內切球的半徑，用 r 或有時用 rho (Johnson 1929) 表示。擁有內切圓的多邊形被認為是可內接的或相切的。

具有 n 條邊和邊長為 a 的正多邊形的內切圓半徑由下式給出

r=1/2acot(pi/n).
(1)

下表總結了一些非正可內接多邊形的內切圓半徑。

多邊形內切圓半徑
3, 4, 5 三角形1
30-60-90 三角形1/4a(sqrt(3)-1)
雙心四邊形(sqrt(abcd))/s
菱形(ab)/(sqrt(a^2+b^2))
黃金三角形1/2bsqrt(5-2sqrt(5))
等腰直角三角形a(1-1/2sqrt(2))
等腰三角形(a(sqrt(a^2+4h^2)-a))/(4h)
箏形a/(2sqrt(2))
菱形(pq)/(2sqrt(p^2+q^2))
直角三角形(ab)/(a+b+sqrt(a^2+b^2))
切線四邊形(sqrt(p^2q^2-(a-b)^2(a+b-s)^2))/(2s)

對於三角形，

r=1/2sqrt(((b+c-a)(c+a-b)(a+b-c))/(a+b+c))
(2)
=Delta/s
(3)
=4Rsin(1/2A)sin(1/2B)sin(1/2C),
(4)

其中 Delta 是三角形的面積，a、b 和 c 是邊長，s 是半周長，R 是外接圓半徑，A、B 和 C 是邊 a、b 和 c 的對角（Johnson 1929，第 189 頁）。如果已知三角形的兩條邊長 a 和 b，以及內切圓半徑 r，則可以透過求解 (1) 中的 c 來找到第三條邊 c 的長度，從而得到一個三次方程。

方程 (◇) 可以使用三線座標輕鬆推匯出來。由於內心到三條邊的距離相等，因此其三線座標為 1:1:1，其精確三線座標為 r:r:r。精確三線座標與齊次座標的比率 k 由下式給出

k=(2Delta)/(a+b+c)=Delta/s.
(5)

但由於在這種情況下 k=r，

r=k=Delta/s,
(6)

證畢。

其他涉及內切圓半徑的方程包括

r=(abc)/(4sR)
(7)
=(Delta^2)/(r_1r_2r_3)
(8)
=R(cosA+cosB+cosC-1)
(9)

其中 s 是半周長，R 是外接圓半徑，r_i 是旁切圓半徑，參考自參考三角形 (Johnson 1929, pp. 189-191)。

設 d 為內切圓半徑 r 和外接圓半徑 R 之間的距離，d=rR^_。那麼尤拉三角形公式指出

R^2-d^2=2Rr,
(10)

或等價地

1/(R-d)+1/(R+d)=1/r
(11)

（Mackay 1886-87；Casey 1888，pp. 74-75）。Johnson (1929，pp. 186-190) 給出了這些以及許多其他恆等式。

對於柏拉圖或阿基米德立體，對偶多面體的內切圓半徑 r_d 可以用立體的外接圓半徑 R、中間半徑 rho=rho_d 和邊長 a 表示為

r_d=(rho^2)/(sqrt(rho^2+1/4a^2))
(12)
=(R^2-1/4a^2)/R,
(13)

這些半徑服從

Rr_d=rho^2.
(14)

另請參閱

卡諾定理, 外接圓半徑, 尤拉三角形公式, 日本定理, 中間半徑

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參考文獻

Casey, J. 歐幾里得《幾何原本》前六卷的續篇，包含現代幾何的簡易入門以及大量例題，第五版，修訂和擴充版。 Dublin: Hodges, Figgis, & Co., 1888.Coxeter, H. S. M. 和 Greitzer, S. L. 重訪幾何學。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 10, 1967.Johnson, R. A. 現代幾何學：關於三角形和圓的幾何學的初等論述。 Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929.Mackay, J. S. "關於幾何定理及其發展的歷史註釋 [18 世紀]." Proc. Edinburgh Math. Soc. 5, 62-78, 1886-1887.Mackay, J. S. "與三角形的內切圓和旁切圓半徑相關的公式。" Proc. Edinburgh Math. Soc. 12, 86-105, 1893.Mackay, J. S. "與三角形的內切圓和旁切圓半徑相關的公式。" Proc. Edinburgh Math. Soc. 13, 103-104, 1894.

在 上被引用

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請引用為

Weisstein, Eric W. "Inradius." 來自 --一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/Inradius.html

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