阿基米德立體

13 種阿基米德立體是凸多面體，它們具有相似的排列方式，由兩種或多種不同型別的非相交正凸多邊形以相同的方式圍繞每個頂點排列，且所有邊都具有相同的長度（Cromwell 1997，第 91-92 頁）。

阿基米德立體的特點是具有非常高的對稱性，因此排除了屬於二面體群對稱性的立體（例如，規則稜柱和反稜柱的兩個無限族），以及伸長正方雙圓頂（因為該表面的對稱性破缺扭曲允許區分“靠近赤道”的頂點和“在極地區域”的頂點；Cromwell 1997，第 92 頁）。阿基米德立體有時也被稱為半正多面體。

阿基米德立體如上圖所示。

阿基米德立體的網格如上圖所示。

下表列出了阿基米德立體的均勻、Schläfli、Wythoff 以及 Cundy 和 Rollett 符號（Wenninger 1989，第 9 頁）。

	立體	均勻多面體	Schläfli 符號	Wythoff 符號	Cundy 和 Rollett 符號
1	截半立方體
2	大斜方二十-十二面體		t		4.6.10
3	大斜方截半立方八面體		t		4.6.8
4	截半二十面體
5	小斜方二十-十二面體		r		3.4.5.4
6	小斜方截半立方八面體		r
7	扭稜立方體		s
8	扭稜十二面體		s
9	截角立方體		t
10	截角十二面體		t
11	截角二十面體		t
12	截角八面體		t
13	截角四面體		t

下表給出了阿基米德立體的頂點數、邊數和麵數，以及邊形面的數量。排序後的邊數分別為 18、24、36、36、48、60、60、72、90、90、120、150、180 (OEIS A092536)，面數分別為 8、14、14、14、26、26、32、32、32、38、62、62、92 (OEIS A092537)，頂點數分別為 12、12、24、24、24、24、30、48、60、60、60、60、120 (OEIS A092538)。

	立體
1	截半立方體	12	24	14	8	6
2	大斜方二十-十二面體	120	180	62		30		20		12
3	大斜方截半立方八面體	48	72	26		12		8	6
4	截半二十面體	30	60	32	20		12
5	小斜方二十-十二面體	60	120	62	20	30	12
6	小斜方截半立方八面體	24	48	26	8	18
7	扭稜立方體	24	60	38	32	6
8	扭稜十二面體	60	150	92	80		12
9	截角立方體	24	36	14	8				6
10	截角十二面體	60	90	32	20					12
11	截角二十面體	60	90	32			12	20
12	截角八面體	24	36	14		6		8
13	截角四面體	12	18	8	4			4

13 種阿基米德立體中的七種（截半立方體、截半二十面體、截角立方體、截角十二面體、截角八面體、截角二十面體和截角四面體）可以透過截角柏拉圖立體獲得。產生這七種阿基米德立體的三個截角系列如上圖所示。

另外兩種立體（小斜方二十-十二面體和小斜方截半立方八面體）可以透過膨脹柏拉圖立體獲得，另外兩種立體（大斜方二十-十二面體和大斜方截半立方八面體）可以透過膨脹前 9 種阿基米德立體之一獲得（Stott 1910；Ball 和 Coxeter 1987，第 139-140 頁）。有時有人指出（例如，Wells 1991，第 8 頁）這四種立體可以透過截角其他立體獲得。這種混淆源於開普勒本人，他將 “截角二十-十二面體” 和 “截角截半立方八面體” 分別用於大斜方二十-十二面體和大斜方截半立方八面體。然而，僅靠截角無法產生這些立體，必須與扭曲相結合，將產生的矩形變成正方形（Ball 和 Coxeter 1987，第 137-138 頁；Cromwell 1997，第 81 頁）。

剩下的兩種立體，扭稜立方體和扭稜十二面體，可以透過將立方體和十二面體的面向外移動，同時給每個面一個扭曲來獲得。然後，所得空間用等邊三角形的帶狀物填充（Wells 1991，第 8 頁）。

Pugh（1976，第 25 頁）指出，阿基米德立體都能夠被正四面體外接，使得它們的四個面位於該四面體的面上。

阿基米德立體滿足

(1)

其中是頂點處面角的總和，是頂點數（Steinitz 和 Rademacher 1934，Ball 和 Coxeter 1987）。

設迴圈序列表示圍繞頂點的面的度數（即，是圍繞任何頂點的所有多邊形的邊數列表）。那麼阿基米德立體的定義要求該序列對於每個頂點都必須相同，在旋轉和反射的範圍內。Walsh (1972) 證明表示半正凸多面體或平面鑲嵌的每個頂點周圍的面的度數，當且僅當

1. 且的每個成員都至少為 3，

2. ，在平面鑲嵌的情況下等號成立，並且

3. 對於每個奇數，包含一個子序列 (, , )。

條件 (1) 簡單地說明該圖形由兩個或多個多邊形組成，每個多邊形至少有三條邊。條件 (2) 要求頂點處的內角和必須等於一個完整的旋轉，圖形才能位於平面中；對於凸立體，則必須小於一個完整的旋轉。

列舉半正多面體的常用方法是使用幾類論證消除條件 (1) 和 (2) 的解，然後證明剩下的解實際上是半正的（Kepler 1864，第 116-126 頁；Catalan 1865，第 25-32 頁；Coxeter 1940，第 394 頁；Coxeter et al. 1954；Lines 1965，第 202-203 頁；Walsh 1972）。下表給出了所有可能的正多面體和半正多面體以及鑲嵌。在表中，“P” 表示柏拉圖立體，“M” 表示稜柱或反稜柱，“A” 表示阿基米德立體，“T” 表示平面鑲嵌。

	fg.	立體	Schläfli 符號
(3, 3, 3)	P	四面體
(3, 4, 4)	M	三角稜柱	t
(3, 6, 6)	A	截角四面體	t
(3, 8, 8)	A	截角立方體	t
(3, 10, 10)	A	截角十二面體	t
(3, 12, 12)	T	鑲嵌	t
(4, 4, )	M	邊形稜柱	t
(4, 4, 4)	P	立方體
(4, 6, 6)	A	截角八面體	t
(4, 6, 8)	A	大斜方截半立方八面體	t
(4, 6, 10)	A	大斜方二十-十二面體	t
(4, 6, 12)	T	鑲嵌	t
(4, 8, 8)	T	鑲嵌	t
(5, 5, 5)	P	十二面體
(5, 6, 6)	A	截角二十面體	t
(6, 6, 6)	T	鑲嵌
(3, 3, 3, )	M	邊形反稜柱	s
(3, 3, 3, 3)	P	八面體
(3, 4, 3, 4)	A	截半立方體
(3, 5, 3, 5)	A	截半二十面體
(3, 6, 3, 6)	T	鑲嵌
(3, 4, 4, 4)	A	小斜方截半立方八面體	r
(3, 4, 5, 4)	A	小斜方二十-十二面體	r
(3, 4, 6, 4)	T	鑲嵌	r
(4, 4, 4, 4)	T	鑲嵌
(3, 3, 3, 3, 3)	P	二十面體
(3, 3, 3, 3, 4)	A	扭稜立方體	s
(3, 3, 3, 3, 5)	A	扭稜十二面體	s
(3, 3, 3, 3, 6)	T	鑲嵌	s
(3, 3, 3, 4, 4)	T	鑲嵌	--
(3, 3, 4, 3, 4)	T	鑲嵌	s
(3, 3, 3, 3, 3, 3)	T	鑲嵌

如上表所示，恰好有 13 種阿基米德立體（Walsh 1972，Ball 和 Coxeter 1987）。它們被稱為截半立方體、大斜方二十-十二面體、大斜方截半立方八面體、截半二十面體、小斜方二十-十二面體、小斜方截半立方八面體、扭稜立方體、扭稜十二面體、截角立方體、截角十二面體、截角二十面體（足球）、截角八面體和截角四面體。

設為對偶多面體的內半徑（對應於內切球，內切球與對偶立體的面相切），為多面體及其對偶的中間半徑（對應於中切球，中切球與多面體及其對偶的邊都相切），為阿基米德立體的外接球半徑（對應於立體的外接球，外接球與立體的頂點相切），為立體的邊長。由於外接球和內切球彼此對偶，它們遵循以下關係

(2)

（Cundy 和 Rollett 1989，第 144 頁之後的表 II）。此外，

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

下表給出了邊長為單位長度的阿基米德立體的、和的解析值和數值（Coxeter et al. 1954；Cundy 和 Rollett 1989，第 144 頁之後的表 II）。Hume (1986) 給出了阿基米德立體的二面角的近似表示式（以及其對偶的精確表示式）。

	立體
1	截半立方體			1
2	大斜方二十-十二面體
3	大斜方截半立方八面體
4	截半二十面體
5	小斜方二十-十二面體
6	小斜方截半立方八面體
7	扭稜立方體	*	*	*
8	扭稜十二面體	*	*	*
9	截角立方體
10	截角十二面體
11	截角二十面體
12	截角八面體
13	截角四面體

*這些立體的外接球半徑的複雜解析表示式在扭稜立方體和扭稜十二面體的條目中給出。

	立體
1	截半立方體	0.75	0.86603	1
2	大斜方二十-十二面體	3.73665	3.76938	3.80239
3	大斜方截半立方八面體	2.20974	2.26303	2.31761
4	截半二十面體	1.46353	1.53884	1.61803
5	小斜方二十-十二面體	2.12099	2.17625	2.23295
6	小斜方截半立方八面體	1.22026	1.30656	1.39897
7	扭稜立方體	1.15763	1.24719	1.34371
8	扭稜十二面體	2.03969	2.09688	2.15583
9	截角立方體	1.63828	1.70711	1.77882
10	截角十二面體	2.88526	2.92705	2.96945
11	截角二十面體	2.37713	2.42705	2.47802
12	截角八面體	1.42302	1.5	1.58114
13	截角四面體	0.95940	1.06066	1.17260

阿基米德立體及其對偶都是規範多面體。由於阿基米德立體是凸的，因此每個阿基米德立體的凸包就是該立體本身。

另請參閱

阿基米德對偶, 阿基米德立體星狀體, 卡塔蘭立體, 三角面多面體, 等面體, 約翰遜立體, 開普勒-泊松多面體, 柏拉圖立體, 擬正則多面體, 半正多面體, 均勻多面體, 均勻鑲嵌

使用探索

更多嘗試

參考文獻

Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 136, 1987.Behnke, H.; Bachman, F.; Fladt, K.; 和 Kunle, H. (Eds.). Fundamentals of Mathematics, Vol. 2: Geometry. Cambridge, MA: MIT Press, pp. 269-286, 1974.Catalan, E. "Mémoire sur la Théorie des Polyèdres." J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.Coxeter, H. S. M. "The Pure Archimedean Polytopes in Six and Seven Dimensions." Proc. Cambridge Phil. Soc. 24, 1-9, 1928.Coxeter, H. S. M. "Regular and Semi-Regular Polytopes I." Math. Z. 46, 380-407, 1940.Coxeter, H. S. M. §2.9 in Regular Polytopes, 3rd ed. "Historical Remarks." New York: Dover, pp. 30-32, 1973.Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; 和 Miller, J. C. P. "Uniform Polyhedra." Phil. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 246, 401-450, 1954.Critchlow, K. Order in Space: A Design Source Book. New York: Viking Press, 1970.Cromwell, P. R. Polyhedra. New York: Cambridge University Press, pp. 79-86, 1997.Cundy, H. 和 Rollett, A. "Stellated Archimedean Polyhedra." §3.9 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 123-128 和 Table II following p. 144, 1989.Fejes Tóth, L. Ch. 4 in Regular Figures. Oxford, England: Pergamon Press, 1964.Geometry Technologies. "The 5 Platonic Solids and the 13 Archimedean Solids." http://www.scienceu.com/geometry/facts/solids/.Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, p. 54, 1991.Hovinga, S. "Regular and Semi-Regular Convex Polytopes: A Short Historical Overview." http://presh.com/hovinga/regularandsemiregularconvexpolytopesashorthistoricaloverview.html.Hume, A. "Exact Descriptions of Regular and Semi-Regular Polyhedra and Their Duals." Computing Science Tech. Rep., No. 130. Murray Hill, NJ: AT&T Bell Laboratories, 1986.Kepler, J. "Harmonice Mundi." Opera Omnia, Vol. 5. Frankfurt, pp. 75-334, 1864.Kraitchik, M. Mathematical Recreations. New York: W. W. Norton, pp. 199-207, 1942.Le, Ha. "Archimedean Solids." http://www.scg.uwaterloo.ca/~hqle/Polyhedra/archimedean.html.Lines, L. Solid Geometry, with Chapters on Space-Lattices, Sphere-Packs, and Crystals. New York: Dover, 1965.Maehara, H. "On the Sphericity of the Graphs of Semi-Regular Polyhedra." Discr. Math. 58, 311-315, 1986.Nooshin, H.; Disney, P. L.; 和 Champion, O. C. "Properties of Platonic and Archimedean Polyhedra." Table 12.1 in "Computer-Aided Processing of Polyhedric Configurations." Ch. 12 in Beyond the Cube: The Architecture of Space Frames and Polyhedra (Ed. J. F. Gabriel). New York: Wiley, pp. 360-361, 1997.Pearce, P. Structure in Nature Is a Strategy for Design. Cambridge, MA: MIT Press, pp. 34-35, 1978.Pedagoguery Software. Poly. http://www.peda.com/poly/.Pugh, A. Polyhedra: A Visual Approach. Berkeley: University of California Press, p. 25, 1976.Rawles, B. A. "Platonic and Archimedean Solids--Faces, Edges, Areas, Vertices, Angles, Volumes, Sphere Ratios." http://www.intent.com/sg/polyhedra.html.Robertson, S. A. 和 Carter, S. "On the Platonic and Archimedean Solids." J. London Math. Soc. 2, 125-132, 1970.Rorres, C. "Archimedean Solids: Pappus." http://www.mcs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Solids/Pappus.html.Sloane, N. J. A. 序列 A092536, A092537, 和 A092538 在 "整數序列線上百科全書" 中。Steinitz, E. 和 Rademacher, H. Vorlesungen über die Theorie der Polyheder. Berlin, p. 11, 1934.Stott, A. B. "Geometrical Deduction of Semiregular from Regular Polytopes and Space Fillings." Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Amsterdam 11, 3-24, 1910.Vichera, M. "Archimedean Polyhedra." http://www.vicher.cz/puzzle/telesa/telesa.htm.Walsh, T. R. S. "Characterizing the Vertex Neighbourhoods of Semi-Regular Polyhedra." Geometriae Dedicata 1, 117-123, 1972.Webb, R. "Archimedean Solids and Catalan Solids." http://www.software3d.com/Archimedean.html.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 6-8, 1991.Wenninger, M. J. "The Thirteen Semiregular Convex Polyhedra and Their Duals." Ch. 2 in Dual Models. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 14-35, 1983.Wenninger, M. J. Polyhedron Models. New York: Cambridge University Press, 1989.

在上被引用

阿基米德立體

請引用為

Weisstein, Eric W. "阿基米德立體。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ArchimedeanSolid.html

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