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正多邊形

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RegularPolygons

正多邊形是一個具有 n 條邊的 多邊形，其中所有邊都具有相同的長度，並且對稱地放置在一個共同的中心周圍（即，該多邊形既是 等角 的又是 等邊 的）。 只有某些正多邊形可以使用經典的希臘工具—— 圓規 和 直尺 “構造”出來。

術語 等邊三角形 和 正方形 分別指代正3邊形和正4邊形。 邊數 n>=5 的多邊形的詞語（例如，五邊形、六邊形、七邊形 等）可以指代正多邊形或非正多邊形，儘管在沒有特定措辭的情況下，這些術語通常指代正多邊形。

正 n 邊形在 Wolfram 語言 中實現為RegularPolygon[n]，或者更一般地為RegularPolygon[r, n],RegularPolygon[{x, y}, rspec, n]，等等。

從任意點到 n 邊正多邊形各邊的 垂線 之和是 n 乘以 邊心距。

PolygonInCircumscribe

設 a 為邊長，r 為 內切圓半徑，R 為正多邊形的 外接圓半徑。 那麼

a=2rtan(pi/n)
(1)
=2Rsin(pi/n)
(2)
r=1/2acot(pi/n)
(3)
=Rcos(pi/n)
(4)
R=1/2acsc(pi/n)
(5)
=rsec(pi/n)
(6)
A=1/4na^2cot(pi/n)
(7)
=nr^2tan(pi/n)
(8)
=1/2nR^2sin((2pi)/n).
(9)

關於正 n 邊形的 內切圓半徑 和 外接圓半徑 軸的 面積慣性矩 由下式給出

I_r=1/(24)A_n(6r_n^2-a^2)
(10)
=(a^4)/(192)n[cos((2pi)/n)+2]cos(pi/n)csc^2(pi/n)
(11)
I_R=1/(48)A_n(12R_n^2+a^2)
(12)
=(a^4)/(192)ncot(pi/n)[3cos^2(pi/n)+1]
(13)

(Roark 1954, p. 70)。

如果邊數加倍，那麼

a_(2n)=sqrt(2R^2-Rsqrt(4R^2-a_n^2))
(14)
A_(2n)=(4rA_n)/(2r+sqrt(4r^2+a_n^2)).
(15)

前幾個單位邊長的正 n 邊形的面積為

A_3=1/4sqrt(3)
(16)
A_4=1
(17)
A_5=1/4sqrt(5(5+2sqrt(5)))
(18)
A_6=3/2sqrt(3)
(19)
A_7=(4096x^6-62720x^4+115248x^2-16807)_6
(20)
A_8=2(1+sqrt(2))
(21)
A_9=(4096x^6-186624x^4+1154736x^2-177147)_6
(22)
A_(10)=5/2sqrt(5+2sqrt(5)).
(23)

這些對於 n=3, 4, ... 的代數次數分別為 2, 1, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 8, 4, 16, 6, 18, 4, ... (OEIS A089929)。

RegularPolygonAreas

上圖顯示了單位內切圓半徑（藍色）和單位外接圓半徑（紅色）的正 n 邊形的面積如何接近 單位圓盤 的面積（即，pi）。

如果 p_k 和 P_k 是內接於和外切於給定 圓 的正多邊形的 周長，而 a_k 和 A_k 是它們的面積，那麼

P_(2n)=(2p_nP_n)/(p_n+P_n)
(24)
p_(2n)=sqrt(p_nP_(2n)),
(25)

並且

a_(2n)=sqrt(a_nA_n)
(26)
A_(2n)=(2a_(2n)A_n)/(a_(2n)+A_n)
(27)

(Beyer 1987, p. 125)。

任意 n 邊形的內角和由 (n-2)pi 弧度或 2(n-2)×90 degrees 給出 (Zwillinger 1995, p. 270)。

下表給出了前幾個單位邊長 s=1 的正多邊形的引數，其中 alpha 是內角（頂點角），beta 是 外角，r 是 內切圓半徑，R 是 外接圓半徑，A 是面積 (Williams 1979, p. 33)。

多邊形{n}alphabetarRA
等邊三角形{3}1/3pi=60 degrees2/3pi=120 degrees1/6sqrt(3)1/3sqrt(3)1/4sqrt(3)
正方形{4}1/2pi=90 degrees1/2pi=90 degrees1/21/2sqrt(2)1
五邊形{5}3/5pi=108 degrees2/5pi=72 degrees1/(10)sqrt(25+10sqrt(5))1/(10)sqrt(50+10sqrt(5))1/4sqrt(25+10sqrt(5))
六邊形{6}2/3pi=120 degrees1/3pi=60 degrees1/2sqrt(3)13/2sqrt(3)
七邊形{7}5/7pi=(900)/7 degrees2/7pi=(360)/7 degrees1/2cot(1/7pi)1/2csc(1/7pi)7/4cot(1/7pi)
八邊形{8}3/4pi=135 degrees1/4pi=45 degrees1/2(1+sqrt(2))1/2sqrt(4+2sqrt(2))2(1+sqrt(2))
九邊形{9}7/9pi=140 degrees2/9pi=40 degrees1/2cot(1/9pi)1/2csc(1/9pi)9/4cot(1/9pi)
十邊形{10}4/5pi=144 degrees1/5pi=36 degrees1/2sqrt(5+2sqrt(5))1/2(1+sqrt(5))5/2sqrt(5+2sqrt(5))
十一邊形{11}9/(11)pi=(1620)/(11) degrees2/(11)pi=(360)/(11) degrees1/2cot(1/(11)pi)1/2csc(1/(11)pi)(11)/4cot(1/(11)pi)
十二邊形{12}5/6pi=150 degrees1/6=30 degrees1/2(2+sqrt(3))1/2(sqrt(2)+sqrt(6))3(2+sqrt(3))
十三邊形{13}(11)/(13)pi=(1980)/(13) degrees2/(13)pi=(360)/(13) degrees1/2cot(1/(13)pi)1/2csc(1/(13)pi)(13)/4cot(1/(13)pi)
十四邊形{14}6/7pi=(1080)/7 degrees1/7pi=(180)/7 degrees1/2cot(1/(14)pi)1/2csc(1/(14)pi)7/2cot(1/(14)pi)

只有部分正多邊形可以透過使用 圓規 和 直尺 的 幾何構造 來構建。 可以構造正多邊形的邊數是那些中心角對應於所謂的 三角學角 的邊數。

RegularPolygonFunctions

可以構造相對簡單的二維函式 P_n(x,y)，這些函式具有正 n 邊形的對稱性（即，其 等高線 是正 n 邊形）。 上面示出的示例包括

P_3(x,y)=max(y-xsqrt(3),y+xsqrt(3),-2y)
(28)
P_4(x,y)=|x|+|y|
(29)
P_6(x,y)=2|x|+|x-ysqrt(3)|+|x+ysqrt(3)|
(30)
P_8(x,y)=2(|x|+|y|)+sqrt(2)(|x-y|+|x+y|).
(31)

另請參閱

257邊形, 65537邊形, 無限邊形, 比爾圖片, 混沌遊戲, 可構造多邊形, 棣莫弗數, 等邊三角形, 十七邊形, 六邊形, 六芒星, 八邊形, 五邊形, 五角星, 多邊形, 外切多邊形, 內接多邊形, 正多邊形對角線分割, 正方形, 星形多邊形, 三角學角 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

Beyer, W. H. CRC 標準數學表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1987。Bishop, W. "How to Construct a Regular Polygon." Amer. Math. Monthly 85, 186-188, 1978。Conway, J. H. and Guy, R. K. 數字之書。 New York: Springer-Verlag, pp. 140 and 197-202, 1996。Courant, R. and Robbins, H. "Regular Polygons." §3.2 in 什麼是數學？：思想和方法的初等方法，第 2 版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 122-125, 1996。Coxeter, H. S. M. 幾何學導論，第 2 版。 New York: Wiley, 1969。DeTemple, D. W. "Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygonal Constructions." Amer. Math. Monthly 98, 97-108, 1991。Dickson, L. E. "Constructions with Ruler and Compasses; Regular Polygons." Ch. 8 in 關於與初等領域相關的現代數學主題的專著 (Ed. J. W. A. Young). New York: Dover, pp. 352-386, 1955。Gardner, M. 數學嘉年華：來自《科學美國人》的新的誘惑和謎題綜述。 New York: Vintage Books, p. 207, 1977。Gauss, C. F. §365 and 366 in 算術研究。 Leipzig, Germany, 1801. Translated by A. A. Clarke. New Haven, CT: Yale University Press, 1965。Harris, J. W. and Stocker, H. "Regular n-gons (Polygons)." §3.7 in 數學和計算科學手冊。 New York: Springer-Verlag, pp. 86-89, 1998。Math Forum. "Naming Polygons and Polyhedra." http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.polygon.names.html.Rawles, B. 神聖幾何設計源書：通用維度模式。 Nevada City, CA: Elysian Pub., p. 238, 1997。Richmond, H. W. "A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides." Quart. J. Pure Appl. Math. 26, 206-207, 1893。Roark, R. J. 應力和應變公式，第 3 版。 New York: McGraw-Hill, 1954。Sloane, N. J. A. Sequences A003401/M0505, A004729, and A089929 in "整數序列線上百科全書。"Smith, D. E. 數學資源書。 New York: Dover, p. 350, 1994。Tietze, H. Ch. 9 in 數學中的著名問題。 New York: Graylock Press, 1965。Wantzel, M. L. "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas." J. Math. pures appliq. 1, 366-372, 1836。Williams, R. "Polygons." §2-1 in 自然結構的幾何基礎：設計資源書。 New York: Dover, pp. 31-33, 1979。Zwillinger, D. (Ed.). CRC 標準數學表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1995。

在 中引用

正多邊形

引用為

Weisstein, Eric W. “正多邊形。” 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/RegularPolygon.html

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