無限邊形

無限邊形是 正多邊形 定義的擴充套件，適用於具有無限條邊的圖形。其 施萊夫利符號 是 。

無限邊形可以在 雙曲平面 上產生正鑲嵌。這是透過讓正多邊形的每條邊都具有長度 ，並且多邊形的每個內角為 來實現的。然後構造三角形 ，其中 是邊的中點， 是相鄰的頂點， 是多邊形的中心。這是一個 直角三角形，直角位於 。但是邊 的長度是 ，角 是 。邊 的長度，即外接圓的半徑，可以使用曲率為 的常曲率曲面上的直角三角形的標準公式確定：

			(1)
			(2)

的值永遠不小於 1，而 的值隨著 的增大從零增加到一。僅對於 的小值， 小於 1，這對於 的任何實數值都必須如此。因此，透過使 足夠大，該圖形具有無限條邊，並且是無限邊形。如果 ，則該圖形內接於等距圓。如果該值大於 1，則該圖形內接於超迴圈或等距曲線。

為了用無限邊形鑲嵌 雙曲平面，選擇施萊夫利符號 ，表示在每個頂點處匯聚 個無限邊形。內角 然後等於 。要找到最小邊長，請解方程

(3)

例如，如果 ，則

(4)

當然，更長的邊長也可以用於此鑲嵌。

球面上沒有無限邊形，但歐幾里得平面上存在用施萊夫利符號 的無限邊形進行的退化正鑲嵌。為了構造它，將一條線段分成相等的線段，這些線段是無限邊形的邊。內角是 ，並且鑲嵌平面的兩個無限邊形的內部是該線段任一側的兩個半平面。