直角三角形

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直角三角形是具有角為 ( 弧度) 的三角形。這種三角形的邊、和滿足勾股定理

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其中最長邊通常表示為，稱為斜邊。另外兩條長度為和的邊稱為直角邊，有時也稱為股。

小說深夜小狗神秘事件的主人公克里斯託弗最喜歡的 A-level 數學考試題要求證明邊長為、和（其中）的三角形是直角三角形，並且逆定理不成立（Haddon 2003，第 214 頁和 223-226 頁）。

直角三角形的邊長構成所謂的勾股數。不是直角三角形的三角形有時稱為斜三角形。直角三角形的特殊情況包括等腰直角三角形（中間圖）和 30-60-90 三角形（右圖）。

對於直角三角形邊上的任意三個相似形狀的面積，

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這等價於勾股定理。

對於邊長為、和斜邊的直角三角形，面積簡單地為

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內切圓半徑可以透過將三角形的面積與三個三角形、和的面積之和相等來找到，其中內切圓半徑作為高，給出

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求解則得到

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這也可以寫成等價形式

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直角三角形的斜邊是三角形外接圓的直徑，因此外接圓半徑由下式給出

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本原直角三角形是具有整數邊、和且滿足的直角三角形，其中是最大公約數。值集隨後被稱為本原勾股數。

對於邊長為整數的直角三角形，任何本原勾股數都可以寫成

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使用這些，方程 (6) 變為

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當和為整數時，這是一個整數 (Ogilvy and Anderson 1988, p. 68)。

給定一個直角三角形，從直角畫高線。那麼三角形和相似。

在直角三角形中，斜邊的中點與三個多邊形頂點等距 (Dunham 1990)。可以如下證明。給定，令為的中點（使得）。畫，那麼由於類似於，因此得出。由於和都是直角三角形且對應直角邊相等，斜邊也相等，因此我們有，定理得證。

此外，三角形的三角形中線和高線是關於的角平分線的反射，當且僅當是直角三角形時成立 (G. McRae, 私人通訊, 2006 年 5 月 1 日)。

費馬展示瞭如何構造任意數量的等面積非本原直角三角形。勾股數的分析表明，由三元組生成的直角三角形具有共同的面積

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（Beiler 1966，第 126-127 頁）。此函式的唯一極值出現在處。由於對於，三個非本原直角三角形共享的最小面積由給出，這導致面積為 840，對應於三元組 (24, 70, 74)、(40, 42, 58) 和 (15, 112, 113) (Beiler 1966, p. 126)。人們還可以找到具有相同面積的四組直角三角形。具有已知最小面積的四元組是 (111, 6160, 6161)、(231, 2960, 2969)、(518, 1320, 1418)、(280, 2442, 2458)，面積為 (Beiler 1966, p. 127)。Guy (1994) 提供了更多資訊。

還可以找到具有相同周長的三組和四組直角三角形 (Beiler 1966, pp. 131-132)。

在給定的直角三角形中，可以構造一個無限的交替位於斜邊和最長直角邊上的正方形序列，如上圖所示。這些建立了一個越來越小的相似直角三角形序列。設原始三角形的直角邊長度為和，斜邊長度為。另定義

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那麼第個正方形的邊長為

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將左上角的三角形編號為 1，然後透過沿著相鄰頂點的“條帶”三角形對其餘部分進行編號。那麼這些三角形的邊長為

		${s_((n+1)/2) for n odd; (ab)/cx^(n/2) for n even$	(18)
		${(b^2)/ax^((n+1)/2) for n odd; (b^2)/cx^(n/2) for n even$	(19)
		${(bc)/ax^((n+1)/2) for n odd; s_(n/2) for n even.$	(20)

相應三角形的內切圓半徑可以從下式找到

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給出

$r_n={b/ayx^((n+1)/2) for n odd; b/cyx^(n/2) for n even.$

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來自宮城縣 1913 年的算額問題詢問了第一、第三和第五個內切圓半徑之間的關係 (Rothman 1998)。這可以使用基本的三角學以及上面給出的顯式方程來解決，並且具有解

(23)

參見

30-60-90 三角形, 銳角三角形, 阿基米德中點定理, 布羅卡爾中點, 股, 圓點中點定理, Dom, 尤拉-格爾貢-索迪三角形, 費馬直角三角形定理, 斜邊, 等腰直角三角形, 等腰三角形, 直角邊, 馬爾法蒂問題, 斜三角形, 鈍角三角形, 本原直角三角形, 勾股三角形, 勾股數, 四邊形, RAT-自由集, 直角, 三角形, 三角學在課堂中探索這個主題

使用探索

更多嘗試

參考文獻

Beiler, A. H. "The Eternal Triangle." Ch. 14 in Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. New York: Dover, 1966.Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 121, 1987.Dunham, W. Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics. New York: Wiley, pp. 120-121, 1990.Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 160-161, 1984.Guy, R. K. "Triangles with Integer Sides, Medians, and Area." §D21 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 188-190, 1994.Haddon, M. The Curious Incident of the Dog in the Night-Time. New York: Vintage, 2003.Kern, W. F. and Bland, J. R. Solid Mensuration with Proofs, 2nd ed. New York: Wiley, p. 2, 1948.Ogilvy, C. S. and Anderson, J. T. Excursions in Number Theory. New York: Dover, p. 68, 1988.Rothman, T. "Japanese Temple Geometry." Sci. Amer. 278, 85-91, May 1998.Sierpiński, W. Pythagorean Triangles. New York: Academic Press, 1962.Whitlock, W. P. Jr. "Rational Right Triangles with Equal Areas." Scripta Math. 9, 155-161, 1943a.Whitlock, W. P. Jr. "Rational Right Triangles with Equal Areas." Scripta Math. 9, 265-268, 1943b.

請引用為

Weisstein, Eric W. “直角三角形。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/RightTriangle.html

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參見

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參考文獻

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