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勾股數

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勾股數是由三個三元組正整數 a、 b 和 c 組成的，使得存在一個直角三角形，其兩條直角邊為 a,b，斜邊為 c。 根據勾股定理，這等價於找到滿足以下條件的正整數 a、 b 和 c

a^2+b^2=c^2.
(1)

最小且最著名的勾股數是 (a,b,c)=(3,4,5)。 具有這些邊長的直角三角形有時被稱為 3, 4, 5 三角形。

PythagoreanTriples

上面顯示了 (a,b) 平面中點的圖，其中 (a,b,sqrt(a^2+b^2)) 是勾股數，並逐步放大邊界。 這些圖包括 a 和 b 的負值，因此關於 x 軸和 y 軸都對稱。

PythagoreanTriplesAC

類似地，上面顯示了 (a,c) 平面中點的圖，其中 (a,sqrt(c^2-a^2),c) 是勾股數，並逐步放大邊界。

PrimitivePythagoreanTriple

通常只考慮本原勾股數（也稱為“既約”三元組），其中 a 和 b 互質，因為其他解可以從本原解中平凡地生成。 上面說明了本原三元組，並且可以立即看出，原始圖中對應於非本原三元組的徑向線在此圖中不存在。 對於本原解，a 或 b 之一必須是偶數，另一個是奇數 (Shanks 1993, p. 141)，而 c 始終是奇數。

此外，每個勾股數的一條邊可被 3 整除，另一條邊可被 4 整除，還有一條邊可被 5 整除。 一條邊可能有兩個這樣的除數，如 (8, 15, 17)、(7, 24, 25) 和 (20, 21, 29) 中所示，甚至可能全部三個都有，如 (11, 60, 61) 中所示。

給定一個本原三元組 (a_0,b_0,c_0)，可以從以下公式獲得三個新的本原三元組

(a_1,b_1,c_1)=(a_0,b_0,c_0)U
(2)
(a_2,b_2,c_2)=(a_0,b_0,c_0)A
(3)
(a_3,b_3,c_3)=(a_0,b_0,c_0)D,
(4)

其中

U=[1 2 2; -2 -1 -2; 2 2 3]
(5)
A=[1 2 2; 2 1 2; 2 2 3]
(6)
D=[-1 -2 -2; 2 1 2; 2 2 3].
(7)

Hall (1970) 和 Roberts (1977) 證明，(a,b,c) 是本原勾股數 當且僅當

(a,b,c)=(3,4,5)M,
(8)

其中 M 是矩陣 U、 A、 D 的有限乘積。 因此，每個本原勾股數都必須是無限陣列的成員

( 7, 24, 25); ( 5, 12, 13) ( 55, 48, 73); ( 45, 28, 53); ( 39, 80, 89); (3, 4, 5) ( 21, 20, 29) ( 119, 120, 169); ( 77, 36, 85); ( 33, 56, 65); ( 15, 8, 17) ( 65, 72, 97); ( 35, 12, 37).
(9)

畢達哥拉斯和巴比倫人給出了一個生成（不一定是本原的）三元組的公式，如下所示

(2m,m^2-1,m^2+1),
(10)

對於 m>1，這會生成一組不同的三元組，其中既不包含所有本原三元組，也不包含所有非本原三元組（並且在特殊情況 m=2 時，m^2-1<2m）。

早期的希臘人給出了

(v^2-u^2,2uv,u^2+v^2),
(11)

其中 u 和 v>u 互質且奇偶性相反 (Shanks 1993, p. 141)，這會生成一組不同的三元組，其中精確地包含本原三元組（在適當排序 v^2-u^2 和 2uv 之後）。

設 F_n 為斐波那契數。 則

(F_nF_(n+3),2F_(n+1)F_(n+2),F_(n+1)^2+F_(n+2)^2)
(12)

生成不同的勾股數 (Dujella 1995)，儘管對於本原三元組或非本原三元組都不是詳盡的。 更一般地，從正整數 a、 b 開始，並構造項為 a、 b、 a+b、 a+2b、 2a+3b、 ... 的類斐波那契數列 {F_n^'}，會生成不同的勾股數

(F_n^'F_(n+3)^',2F_(n+1)^'F_(n+2)^',F_(n+1)^'^2+F_(n+2)^'^2)
(13)

(Horadam 1961)，其中

F_n^'=1/2[(3a-b)F_n+(b-a)L_n,
(14)

其中 L_n 是盧卡斯數。

對於任何勾股數，兩條非斜邊直角邊（即，兩個較小的數）的乘積始終可被 12 整除，並且所有三條邊的乘積可被 60 整除。 尚不清楚是否存在兩個具有相同乘積的不同三元組。 存在兩個這樣的三元組對應於丟番圖方程的非零解

xy(x^4-y^4)=zw(z^4-w^4)
(15)

(Guy 1994, p. 188)。

對於勾股數 (a、 b、 c)，

P_3(a)+P_3(b)=P_3(c),
(16)

其中 P_3 是分割函式 P (Honsberger 1985)。 每個由平方數 r^2、 s^2、 t^2 組成的三項等差數列都可以透過以下方式與勾股數 (X,Y,Z) 關聯

r=X-Y
(17)
s=Z
(18)
t=X+Y
(19)

(Robertson 1996)。

對應於勾股數 (u^2-v^2,2uv,u^2+v^2) 的三角形的面積為

A=1/2(u^2-v^2)(2uv)=uv(u^2-v^2).
(20)

費馬證明，這種形式的數永遠不可能是平方數。

要找到可能具有長度為 s 的直角邊（斜邊除外）的本原三角形的數量 L_p(s)，將 s 分解為以下形式

s=p_1^(alpha_1)...p_n^(alpha_n).
(21)

則此類三角形的數量為

L_p(s)={0 for s=2 (mod 4); 2^(n-1) otherwise,
(22)

即，對於單偶數 s 為 0，否則為 2 的（s 的不同質因數數量減一）次方 (Beiler 1966, pp. 115-116)。 s=1、2、... 的前幾個數字是 0、0、1、1、1、0、1、1、1、0、1、2、1、0、2、... (OEIS A024361)。 要找到數字 s 可以作為本原或非本原直角三角形的直角邊（斜邊除外）的方式數 L(s)，將 s 的因式分解寫為

s=2^(a_0)p_1^(alpha_1)...p_n^(alpha_n).
(23)

則

L(s)={1/2[(2a_1+1)(2a_2+1)...(2a_n+1)-1] for a_0=0; 1/2[(2a_0-1)(2a_1+1)(2a_2+1)...(2a_n+1)-1] for a_0>=1
(24)

(Beiler 1966, p. 116)。 請注意，L(s)=1 當且僅當 s 是素數或素數的兩倍。 s=1、2、... 的前幾個數字是 0、0、1、1、1、1、1、2、2、1、1、4、1、... (OEIS A046079)。

要找到數字 s 可以作為本原直角三角形的斜邊的方式數 H_p(s)，將其因式分解寫為

s=2^(a_0)(p_1^(a_1)...p_n^(a_n))(q_1^(b_1)...q_r^(b_r)),
(25)

其中 p 是形式為 4x-1 的素數，q 是形式為 4x+1 的素數。 則可能的本原 直角三角形的數量為

H_p(s)={2^(r-1) for n=0 and a_0=0; 0 otherwise,.
(26)

例如，H_p(65)=2 因為

65^2=16^2+63^2
(27)
=33^2+56^2.
(28)

n=1、2、... 的 H_p(n) 值是 0、0、0、0、1、0、0、0、0、0、0、0、1、0、0、0、1、... (OEIS A024362)。 形式為 4x+1 的前幾個素數是 5、13、17、29、37、41、53、61、73、89、97、101、109、113、137、... (OEIS A002144)，因此作為 1、2、4、8、16、... 個本原直角三角形的斜邊的最小邊長是 5、65、1105、32045、1185665、48612265、... (OEIS A006278)。

以 s 為斜邊的可能的本原或非本原 直角三角形的數量為

H(s)=1/2[(2b_1+1)(2b_2+1)...(2b_r+1)-1]
(29)
=1/8[r_2(s^2)-4]
(30)

（糾正了 Beiler 1966, p. 117 的排印錯誤，該錯誤指出此公式僅給出非本原解的數量），其中 r_k(n) 是平方和函式。 例如，斜邊為 65 的整數三角形有四個，因為

65^2=16^2+63^2=25^2+60^2=33^2+56^2=39^2+52^2.
(31)

s=1、2、... 的前幾個數字是 0、0、0、0、1、0、0、0、0、1、0、0、1、0、1、0、1、0、0、... (OEIS A046080)。 具有 n 個不同三元組的最小斜邊是 1、5、25、125、65、3125、... (OEIS A006339)。 下表給出了對於 n=0、1、...、5，恰好存在 n 個不同直角整數三角形的斜邊。

nOEIS存在 n 個不同整數三角形的斜邊
0A0041441, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 18, ...
1A0846455, 10, 13, 15, 17, 20, 26, 29, 30, 34, 35, ...
2A08464625, 50, 75, 100, 150, 169, 175, 200, 225, ...
3A084647125, 250, 375, 500, 750, 875, 1000, 1125, 1375, ...
4A08464865, 85, 130, 145, 170, 185, 195, 205, 221, 255, ...
5A0846493125, 6250, 9375, 12500, 18750, 21875, 25000, ...

因此，s 可以是直角三角形的直角邊或斜邊的總方式數由下式給出

T(s)=L(s)+H(s).
(32)

s=1、2、... 的值是 0、0、1、1、2、1、1、2、2、2、1、4、2、1、5、3、... (OEIS A046081)。 對於 T=1、2、...，可能是 T 個通用直角三角形的邊的最小數 s 是 3、5、16、12、15、125、24、40、... (OEIS A006593; Beiler 1966, p. 114)。

斜邊小於 100 的勾股數有 50 個，其中前幾個按 c 遞增排序的是 (3, 4, 5)、(6, 8, 10)、(5, 12, 13)、(9, 12, 15)、(8, 15, 17)、(12, 16, 20)、(15, 20, 25)、(7, 24, 25)、(10, 24, 26)、(20, 21, 29)、(18, 24, 30)、(16, 30, 34)、(21, 28, 35)、... (OEIS A046083, A046084, 和 A009000)。

其中，只有 16 個是斜邊小於 100 的本原三元組：(3, 4, 5)、(5, 12, 13)、(8, 15, 17)、(7, 24, 25)、(20, 21, 29)、(12, 35, 37)、(9, 40, 41)、(28, 45, 53)、(11, 60, 61)、(33, 56, 65)、(16, 63, 65)、(48, 55, 73)、(36, 77, 85)、(13, 84, 85)、(39, 80, 89) 和 (65, 72, 97) (OEIS A046086, A046087, 和 A020882)。

設斜邊 <N 的三元組數量表示為 Delta(N)，斜邊 <=N 的三元組數量表示為 Delta^'(N)，小於 N 的本原三元組數量表示為 Delta_p(N)。 那麼下表總結了 10 的冪的值。

DeltaOEISDelta(10), Delta(10^2), ...
Delta(N)A1019291, 50, 878, 12467, ...
Delta^'(N)A1019302, 52, 881, 12471, ...
Delta_p(N)A1019311, 16, 158, 1593, ...

Lehmer (1900) 證明，斜邊小於 N 的本原解的數量滿足

lim_(N->infty)(Delta_p(N))/N=1/(2pi)=0.1591549...
(33)

(OEIS A086201)。

PythagoreanIncircles

按 c 遞增排序的前幾個本原勾股三角形的內切圓半徑由 1、2、3、3、6、5、4、10、5、... 給出 (OEIS A014498)。

有一種通用方法可以獲得面積相等的勾股三角形三元組。 將三組生成器取為

m_1=r^2+rs+s^2
(34)
n_1=r^2-s^2
(35)
m_2=r^2+rs+s^2
(36)
n_2=2rs+s^2
(37)
m_3=r^2+2rs
(38)
n_3=r^2+rs+s^2.
(39)

那麼由每個三元組 (m_i^2-n_i^2,2m_in_i,m_i^2+n_i^2) 生成的直角三角形具有公共面積

A=rs(2r+s)(r+2s)(r+s)(r-s)(r^2+rs+s^2)
(40)

(Beiler 1966, pp. 126-127)。 此函式的唯一極值發生在 (r,s)=(0,0) 處。 由於當 r=s 時 A(r,s)=0，因此三個非本原直角三角形共享的最小面積由 (r,s)=(1,2) 給出，這導致面積為 840，並且對應於三元組 (24, 70, 74)、(40, 42, 58) 和 (15, 112, 113) (Beiler 1966, p. 126)。

面積為個位數的直角三角形包括 (3,4,5)（面積為 6）和 (693,1924,2045)（面積為 666666；Wells 1986, p. 89）。

1643 年，費馬挑戰梅森找到一個勾股數，其斜邊和兩條直角邊之和都是平方數。 費馬找到了最小的此類解

X=4565486027761
(41)
Y=1061652293520
(42)
Z=4687298610289,
(43)

其中

Z=2165017^2
(44)
X+Y=2372159^2.
(45)

一個相關的問題是確定指定的整數 N 是否可以是具有有理邊長的直角三角形的面積。 1、2、3 和 4 不是任何有理邊直角三角形的面積，但 5 是 (3/2, 20/3, 41/6)，6 也是 (3, 4, 5)。 該問題的解決方案涉及橢圓曲線

y^2=x^3-N^2x.
(46)

如果 (46) 有有理數解，則存在解 (a、 b、 c)，在這種情況下

x=1/4c^2
(47)
y=1/8(a^2-b^2)c
(48)

(Koblitz 1993)。 對於確定任意 N 是否存在解，目前尚無通用的方法，但 J. Tunnell 在 1983 年設計的一種技術可以排除某些值 (Cipra 1996)。

另請參見

丟番圖方程--二次冪, 海倫三角形, 本原勾股數, 勾股四元組, 勾股三角形, 直角三角形, 平方和函式, 孿生勾股數

使用 探索

參考文獻

Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. 數學娛樂與散文，第 13 版 New York: Dover, pp. 57-59, 1987.Beiler, A. H. “永恆的三角形。” Ch. 14 in 數論中的娛樂：數學女王的消遣。 New York: Dover, 1966.Cipra, B. “一個令畢達哥拉斯滿意的證明。” Science 271, 1669, 1996.Courant, R. 和 Robbins, H. “勾股數和費馬最後定理。” §2.3 in Ch. 1 的補充 in 什麼是數學？：通向思想和方法的初等方法，第 2 版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 40-42, 1996.Dickson, L. E. “有理直角三角形。” Ch. 4 in 數論史，卷 2：丟番圖分析。 New York: Dover, pp. 165-190, 2005.Dixon, R. 數學圖形。 New York: Dover, p. 94, 1991.Dujella, A. “斐波那契數和盧卡斯數平方的丟番圖四元組。” Portugaliae Math. 52, 305-318, 1995.Dutch, S. “冪頁面：勾股陣列。” http://www.uwgb.edu/dutchs/RECMATH/rmpowers.htm#pythtrip.Gardner, M. 來自《科學美國人》的數學遊戲第六書。 Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 158-159, 1984.Guy, R. K. “邊、中位數和麵積均為整數的三角形。” §D21 in 數論中未解決的問題，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 188-190, 1994.Hall, A. “課堂筆記 232。勾股三元組的譜系。” Math. Gaz. 54, 377-379, 1970.Hindin, H. “星形，六邊形，三角形數和勾股三元組。” J. Recr. Math. 16, 191-193, 1983-1984.Hitotumatu, S. “畢達哥拉斯偽圓。” Math. Japonica 51, 387-393, 2000.Honsberger, R. 數學瑰寶 III。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 47, 1985.Horadam, A. F. “斐波那契數三元組。” Amer. Math. Monthly 68, 751-753, 1961.Knott, R. “勾股三元組。” http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Pythag/pythag.html.Koblitz, N. 橢圓曲線和模形式導論，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 1-50, 1993.Kraitchik, M. 數學娛樂。 New York: W. W. Norton, pp. 95-104, 1942.Kramer, K. 和 Tunnell, J. “橢圓曲線和區域性 epsilon 因子。” Comp. Math. 46, 307-352, 1982.Lehmer, D. N. “某些總和的漸近評估。” Amer. J. Math. 22, 294-335, 1900.Roberts, J. 初等數論：問題導向方法。 Cambridge, MA: MIT Press, 1977.Robertson, J. P. “正方形的幻方。” Math. Mag. 69, 289-293, 1996.Shanks, D. 數論中已解決和未解決的問題，第 4 版。 New York: Chelsea, pp. 121 和 141, 1993.Sierpiński, W. 勾股三角形。 New York: Dover, 2003.Sloane, N. J. A. 序列 A002144/M3823, A004144/M0542, A006278, A006339, A006593/M2499, A009000, A014498, A020882, A024361, A024362, A046079, A046080, A046081, A046083, A046084, A046086, A046087, A084645, A084646, A084647, A084648, A084649, A086201, A101929, A101930, 和 A101931 in “整數序列線上百科全書。”Taussky-Todd, O. “勾股三角形的多個方面。” Linear Algebra and Appl. 43, 285-295, 1982.Wells, D. 好奇和有趣的數字企鵝詞典。 New York: Penguin Books, 1986.

在 中被引用

勾股數

引用為

Weisstein, Eric W. “勾股三元組。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/PythagoreanTriple.html

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