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雙勾股數

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雙勾股數是指勾股數 (a,b,c) 其中有兩個值是連續整數。根據定義，雙勾股數因此是本原勾股數。在斜邊小於 100 的 16 個本原勾股數中，有 7 個是雙勾股數。前幾個雙勾股數，按 c 遞增排序，是 (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (13, 84, 85), (15, 112, 113), ....

斜邊小於 10, 10^2, 10^3, ... 的雙勾股數的數量分別是 1, 7, 24, 74, ... (OEIS A101903)。

前幾個股-股雙勾股數是 (3, 4, 5), (20, 21, 29), (119, 120, 169), (696, 697, 985), ... (OEIS A001652, A046090, 和 A001653)。對於第 r 個這樣的數對，存在閉合形式。考慮一般的簡化解 (u^2-v^2,2uv,u^2+v^2), 那麼要求兩條股是連續整數為

u^2-v^2=2uv+/-1.
(1)

重新排列得到

(u-v)^2-2v^2=+/-1.
(2)

定義

u=x+y
(3)
v=y
(4)

那麼得到 Pell 方程

x^2-2y^2=1.
(5)

Pell 方程的解由下式給出

x=((1+sqrt(2))^r+(1-sqrt(2))^r)/2
(6)
y=((1+sqrt(2))^r-(1-sqrt(2))^r)/(2sqrt(2)),
(7)

因此，股 X_r 和 Y_r 以及斜邊 Z_r 的長度為

X_r=u^2-v^2
(8)
=x^2+2xy
(9)
=((sqrt(2)+1)^(2r+1)-(sqrt(2)-1)^(2r+1))/4+1/2(-1)^r
(10)
Y_r=2uv
(11)
=2xy+2y^2
(12)
=((sqrt(2)+1)^(2r+1)-(sqrt(2)-1)^(2r+1))/4-1/2(-1)^r
(13)
Z_r=u^2+v^2
(14)
=x^2+2xy+2y^2
(15)
=((sqrt(2)+1)^(2r+1)+(sqrt(2)-1)^(2r+1))/(2sqrt(2)).
(16)

將最短股的長度表示為 A_r，則得到

A_r=((sqrt(2)+1)^(2r+1)-(sqrt(2)-1)^(2r+1))/4-1/2
(17)
Z_r=((sqrt(2)+1)^(2r+1)+(sqrt(2)-1)^(2r+1))/(2sqrt(2))
(18)

(Beiler 1966, pp. 124-125 和 256-257)，這不能被精確求解以給出 r 作為 Z_r 的函式。

然而，可以透過注意到 Z_r 分母中的第二項是一個小數的 1+2r 次方，因此可以忽略不計，從而找到小於給定值 Z_r=N 的股-股雙勾股數的近似數量 Delta_2^L(N)=r，剩下

N=Z_r>((sqrt(2)+1)^(1+2r))/(2sqrt(2))
(19)
N>(1+2r)ln(sqrt(2)+1)-ln(2sqrt(2)).
(20)

求解 r=Delta_2^L(n) 得到

Delta_2^L(N)<(lnN+ln(2sqrt(2))-ln(sqrt(2)+1))/(2ln(sqrt(2)+1))
(21)
<|_(lnN)/(2ln(1+sqrt(2)))_|
(22)
approx 0.567lnN.
(23)

前幾個股-斜邊雙勾股數是 (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (13, 84, 85), ... (OEIS A005408, A046092, 和 A001844)。當滿足以下條件時，會出現股-斜邊雙勾股數 (a,b,c)=(v^2-u^2,2uv,u^2+v^2)

u^2+v^2=2uv+1
(24)
(u-v)^2=1,
(25)

也就是說，當 v=u+1 時，斜邊比偶數股大 1，並且雙勾股數由 (1+2u,2u(1+u),1+2u(1+u)) 給出。因此，斜邊 <=N 的股-斜邊雙勾股數的數量由下式給出

Delta_2^L(N)=|_1/2(sqrt(2N-1)-1)_|,
(26)

其中 |_x_| 是向下取整函式。前幾個值是 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, ... (OEIS A095861)。小於 10, 10^2, ... 的股-斜邊雙勾股數的數量分別是 1, 6, 21, 70, 223, 706, 101904, ... (OEIS A101904)。

因此，小於 N 的雙勾股數的總數 Delta_2(N) 近似由下式給出

Delta_2(N)=Delta_2^H(N)+Delta_2^L(N)-1
(27)
approx |_1/2sqrt(2N-1)+0.567lnN-1.5_|,
(28)

其中減 1 是為了避免重複計算股-股-斜邊雙重雙勾股數 (3,4,5)。

參見

勾股數

使用 探索

參考文獻

Beiler, A. H. "The Eternal Triangle." Ch. 14 in Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. New York: Dover, 1966.Sloane, N. J. A. Sequences A001652/M3074, A001653/M3955, A001844/M3826, A005408/M2400, A046090, A046092, A095861, A101903, A101904 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

雙勾股數

引用為

Weisstein, Eric W. “雙勾股數。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/TwinPythagoreanTriple.html

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