互異質因數

一個正整數的互異質因數定義為個數 , ..., 在質因數分解中

(1)

(Hardy and Wright 1979, p. 354)。

數字的互異質因數列表可以使用 Wolfram 語言計算，使用FactorInteger[n][[All, 1]], 並且互異質因數的數量被實現為PrimeNu[n]。

的前幾個值，對於 , 2, ... 是 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, ... (OEIS A001221; Abramowitz and Stegun 1972, Kac 1959)。這個序列由 ${chi_P(n)}$ 的逆莫比烏斯變換給出，其中是質數的特徵函式 (Sloane and Plouffe 1995, p. 22)。下表列出了前幾個正整數的質因數分解和互異質因數。

	質因數分解		互異質因數 (A027748)
1	--	0	--
2	2	1	2
3	3	1	3
4		1	2
5	5	1	5
6		2	2, 3
7	7	1	7
8		1	2
9		1	3
10		2	2, 5
11	11	1	11
12		2	2, 3
13	13	1	13
14		2	2, 7
15		2	3, 5
16		1	2

僅由互異質因陣列成的數字正是無平方因子數。

涉及的和由下式給出

(2)

對於 (Hardy and Wright 1979, p. 255)。

的平均階為

(3)

(Hardy 1999, p. 51)。更精確地，

(4)

(Diaconis 1976, Knuth 2000, Diaconis 2002, Finch 2003, Knuth 2003)，其中是梅爾滕斯常數，是 Stieltjes 常數。此外，方差由下式給出

(5)

其中

			(6)
			(7)

(OEIS A091588)，其中

(8)

(OEIS A085548) 是質數 Zeta 函式 (Finch 2003)。係數和由以下和給出

			(9)
			(10)
			(11)
			(12)
			(13)

(Diaconis 1976, Knuth 2000, Diaconis 2002, Finch 2003, Knuth 2003)，其中

			(14)
			(15)
			(16)
			(17)

(Finch 2003)。

如果是一個素數階乘，那麼

(18)

(Hardy and Wright 1979, p. 355)。

的求和函式由下式給出

(19)

其中是梅爾滕斯常數 (Hardy 1999, p. 57)，項 (Hardy and Ramanujan 1917; Hardy and Wright 1979, p. 355) 已被重寫為更明確的形式，並且和是漸近記號。求和函式的前幾個值是 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 19, 20, 21, ... (OEIS A013939)。此外，

(20)

(Hardy and Wright 1979, p. 357)。

前幾個數是奇數個互異質因數的乘積 (Hardy 1999, p. 64; Ramanujan 2000, pp. xxiv and 21) 是 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, 41, 42, 43, 47, ... (OEIS A030059)。滿足

(21)

(Hardy 1999, pp. 64-65)。此外，如果是的數量，其中，那麼

(22)

(Hardy 1999, pp. 64-65)。

另請參閱

Dedekind 函式, 互異質因數分解, 除數函式, Erdős-Kac 定理, 最大質因數, Hardy-Ramanujan 定理, 異構數, 最小質因數, 梅爾滕斯常數, 質因數, 無平方因子數

使用探索

更多嘗試

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, p. 844, 1972.Diaconis, P. "數字

的質因數數量的均值和方差的漸近展開。" Dept. Statistics Tech. Report 96, Stanford, CA: Stanford University, 1976.Diaconis, P. "G. H. Hardy 和機率？？？" Bull. London Math. Soc. 34, 385-402, 2002.Finch, S. "兩個漸近級數。" 2003 年 12 月 10 日。 http://algo.inria.fr/bsolve/.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於他生平和工作啟發的十二次講座，第 3 版。 New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. and Ramanujan, S. "數字

的質因數的正常數量。" Quart. J. Math. 48, 76-92, 1917.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "

的質因數數量" 和 "

和

的正常階。" §22.10 和 22.11 in 數論導論，第 5 版。 Oxford, England: Clarendon Press, pp. 354-358, 1979.Kac, M. 機率、分析和數論中的統計獨立性。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 64, 1959.Knuth, D. E. 演算法分析精選論文。 Stanford, CA: CSLI Publications, pp. 338-339, 2000.Knuth, D. E. "

和

的漸近性。" Finch (2003) 引用。未發表的筆記，2003 年。Ramanujan, S. 斯里尼瓦薩·拉馬努金論文集 (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Sloane, N. J. A. 序列 A001221/M0056, A013939, A027748, A085548, 和 A091588 在 "整數序列線上百科全書" 中。Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. 整數序列百科全書。 San Diego, CA: Academic Press, 1995.

在上被引用

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請引用為

Weisstein, Eric W. "互異質因數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DistinctPrimeFactors.html

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