素因子

素因子是一個因子，它也是素數，即它本身不能被分解。一般來說，素因數分解的形式為

(1)

其中 是素因子， 是它們的階數。素因數分解可以在 Wolfram 語言 中使用命令FactorInteger[n] 執行，該命令返回一個 對的列表。

下表給出了正整數 的素因數分解。

1	1	11	11	21		31	31	41	41
2	2	12		22		32		42
3	3	13	13	23	23	33		43	43
4		14		24		34		44
5	5	15		25		35		45
6		16		26		36		46
7	7	17	17	27		37	37	47	47
8		18		28		38		48
9		19	19	29	29	39		49
10		20		30		40		50

一個數 的不必不同的素因子數記為 (Hardy 和 Wright 1979, p. 354) 或 。Conway et al. (2008) 創造了術語“ 的多素性”來描述 ，其中半素數然後被稱為雙素數，具有三個因子的數項稱為三素數，等等。素因子的數量由上面的素因數分解給出：

(2)

對於 , 2, ... 的前幾個值是 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 4, 1, 3, 1, 3, ... (OEIS A001222)。 在上面繪製，直到 （左）和 （右）。函式 在 Wolfram 語言 中實現為PrimeOmega[n],

由 定義的函式被稱為劉維爾函式。

一個數 的不同素因子數記為 (Hardy 和 Wright 1979, p. 354)，有時也記為 或 ，並在 Wolfram 語言 中實現為PrimeNu[n].

例如， 只有一個不同的素因子，所以 ，但總共有兩個素因子，所以 。

的漸近級數由下式給出

(3)

(Diaconis 1976, Knuth 2000, Diaconis 2002, Finch 2003, Knuth 2003)，其中 是一個與 梅爾滕斯常數 相關的常數， 是 斯蒂爾傑斯常數。此外，方差由下式給出

(4)

其中

			(5)
			(6)

(OEIS A091589)，以及

(7)

(OEIS A086242; Finch 2003) 是一個收斂的素數和。係數 和 由以下和給出

			(8)
			(9)
			(10)
			(11)
			(12)

(Diaconis 1976, Knuth 2000, Diaconis 2002, Finch 2003, Knuth 2003)，其中

			(13)
			(14)
			(15)
			(16)

(Finch 2003)。

類似地，如果 是在 1 和 之間隨機選擇的，那麼機率

(17)

趨近於

(18)

當 時 (Knuth 1998, p. 384)。此外，對於 ， 的平均值 趨近於 (Erdős 和 Kac 1940; Hardy 和 Wright 1979; Knuth 1998, p. 384)

的平均階數為

(19)

(Hardy 1999, p. 51)。更精確地說，

(20)

對於適當的常數 和 (Hardy 和 Ramanujan 1917; Hardy 和 Wright 1979, p. 355; Hardy 1999, p. 57)，其中 是漸近符號。