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迪克曼函式

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DickmanFunction

介於 1 和 x 之間的隨機整數的最大質因數 <=x^alpha 的機率接近極限值 F(alpha)，當 x->infty 時，其中 F(alpha)=1 對於 alpha>1 且 F(alpha) 透過積分方程定義

F(alpha)=int_0^alphaF(t/(1-t))(dt)/t
(1)

對於 0<=alpha<=1 (Dickman 1930, Knuth 1998)，這幾乎（但不完全是）第二類 Volterra 積分方程。該函式對於 1/2<=alpha<=1 可以透過以下方式解析給出

F(alpha)=1-int_alpha^1F(t/(1-t))(dt)/t
(2)
=1-int_alpha^1(dt)/t
(3)
=1+lnalpha
(4)

(Knuth 1998)。

令人驚訝的是，使得 p=n^x 的 x 的平均值為

mu=lim_(n->infty)<x>
(5)
=lim_(n->infty)<(lnp)/(lnn)>
(6)
=int_0^1x(dF)/(dx)dx
(7)
=int_0^1F(t/(1-t))dt
(8)
=0.62432999,
(9)

這正是 Golomb-Dickman 常數 lambda，它是以完全不同的方式定義的！

DickmanFunctionRho

迪克曼函式可以透過將其轉換為延遲微分方程來數值求解。這可以透過注意到 t/(1-t) 將變為 (1-t)/t=1/t-1 透過乘法逆轉，因此定義 rho(alpha)=F(1/alpha) 以獲得

rho(1/alpha)=int_0^alpharho(1/t-1)(dt)/t.
(10)

現在透過定義來改變積分符號下的變數

t^'=1/t
(11)
dt^'=-(dt)/(t^2),
(12)

所以

(dt)/t=-(dt^')/(t^').
(13)

代入回去得到

rho(1/alpha)=-int_infty^(1/alpha)rho(t^'-1)(dt^')/(t^').
(14)

為了消除 1/alphas，定義 u=1/alpha，所以

rho(u)=-int_infty^urho(t^'-1)(dt^')/(t^').
(15)

但是根據微積分第一基本定理，

d/(dx)int_a^xf(x^')dx^'=f(x),
(16)

所以對方程 (15) 兩邊求導得到

rho^'(u)=-(rho(u-1))/u.
(17)

這對於 0<alpha<1 成立，這對應於 u>1。重新排列並結合條件 F(alpha)=1 對於 alpha>1 在新變數中的適當陳述，然後得到

{rho(u)=1 for 0<=u<=1; urho^'(u)+rho(u-1)=0 for u>1.
(18)

第二大質因數將是 <=x^beta 由類似於 F(alpha) 的表示式給出。它表示為 G(beta)，其中 G(beta)=1 對於 beta>=1/2 且

G(beta)=int_0^beta[G(t/(1-t))-F(t/(1-t))](dt)/t
(19)

對於 0<=beta<=1/2。

另請參閱

布赫斯塔布函式, Golomb-Dickman 常數, 最大質因數, 質因數

使用 探索

參考文獻

Dickman, K. "關於包含特定相對大小質因數的數字的頻率。" Arkiv för Mat., Astron. och Fys. 22A, 1-14, 1930.Knuth, D. E. 計算機程式設計藝術，第 2 卷：半數值演算法，第 3 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 382-384, 1998.Norton, K. K. 具有小質因數的數字，以及最小 k 次冪非剩餘。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1971.Panario, D. "組合結構中的最小元件。" 1998 年 2 月 16 日。 http://algo.inria.fr/seminars/sem97-98/panario.pdf.Ramaswami, V. "關於小於 x 且沒有大於 x^c 的質因子的正整數的數量。" Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1122-1127, 1949.Ramaswami, V. "正整數 <=X 的數量，以及沒有 >x^C 的質因子，以及 S. S. Pillai 的問題。" Duke Math. J. 16, 99-109, 1949.

在 中引用

迪克曼函式

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "迪克曼函式。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/DickmanFunction.html

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