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積分方程

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一個包含函式 f(x) 和該函式的積分的方程，用於求解 f(x)。如果積分限是固定的，則積分方程稱為弗雷德霍姆積分方程。如果一個積分限是變數，則稱為沃爾泰拉積分方程。如果未知函式僅在積分號下，則稱該方程為“第一類”。如果函式在積分號內外都存在，則稱該方程為“第二類”。一個積分方程的例子如下：

f(x)=e^(-x)-1/2+1/2e^(-(x+1))+1/2int_0^1(x+1)e^(-xy)f(y)dy
(1)

(Kress 1989, 1998)，其解為 f(x)=e^(-x)。

令 phi(t) 為待求解的函式，f(x) 為給定的已知函式，K(x,t) 為已知的積分核。 第一類弗雷德霍姆積分方程是形式為的積分方程

f(x)=int_a^bK(x,t)phi(t)dt.
(2)

第二類弗雷德霍姆積分方程是形式為的積分方程

phi(x)=f(x)+int_a^bK(x,t)phi(t)dt.
(3)

第一類沃爾泰拉積分方程是形式為的積分方程

f(x)=int_a^xK(x,t)phi(t)dt.
(4)

第二類沃爾泰拉積分方程是形式為的積分方程

phi(x)=f(x)+int_a^xK(x,t)phi(t)dt.
(5)

如果 f(x)=0，則積分方程稱為齊次。

當然，並非所有的積分方程都可以寫成這些形式之一。 狄克曼函式給出了一個接近（但不完全是）齊次第二類沃爾泰拉積分方程的例子

F(alpha)=int_0^alphaF(t/(1-t))(dt)/t,
(6)

由於被積函式包含 F(g(t)) 而不是僅僅 F(t)，它不是沃爾泰拉方程。

如果積分方程是可分離的，則可以直接求解。如果滿足以下條件，則稱積分核是可分離的

K(x,t)=lambdasum_(j=1)^nM_j(x)N_j(t).
(7)

所有多項式都滿足此條件。

另一種可以用於求解第二類積分方程（弗雷德霍姆或沃爾泰拉）的通用技術是積分方程諾伊曼級數 (Arfken 1985, pp. 879-882)。

另請參閱

微分方程, 第一類弗雷德霍姆積分方程, 第二類弗雷德霍姆積分方程, 積分-微分方程, 第一類沃爾泰拉積分方程, 第二類沃爾泰拉積分方程

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參考文獻

Arfken, G. "Integral Equations." Ch. 16 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 865-924, 1985.Corduneanu, C. Integral Equations and Applications. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1991.Davis, H. T. Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations. New York: Dover, 1962.Kondo, J. Integral Equations. Oxford, England: Clarendon Press, 1992.Kress, R. Linear Integral Equations. New York: Springer-Verlag, 1989.Kress, R. Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1998.Lovitt, W. V. Linear Integral Equations. New York: Dover, 1950.Mikhlin, S. G. Integral Equations and Their Applications to Certain Problems in Mechanics, Mathematical Physics and Technology, 2nd rev. ed. New York: Macmillan, 1964.Mikhlin, S. G. Linear Integral Equations. New York: Gordon & Breach, 1961.Pipkin, A. C. A Course on Integral Equations. New York: Springer-Verlag, 1991.Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V. Handbook of Integral Equations. Boca Raton, FL: CRC Press, 1998.Porter, D. and Stirling, D. S. G. Integral Equations: A Practical Treatment, from Spectral Theory to Applications. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Integral Equations and Inverse Theory." Ch. 18 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 779-817, 1992.Tricomi, F. G. Integral Equations. New York: Dover, 1957.Weisstein, E. W. "Books about Integral Equations." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/IntegralEquations.html.Whittaker, E. T. and Robinson, G. "The Numerical Solution of Integral Equations." §183 in The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 376-381, 1967.

在 中引用

積分方程

請引用為

Weisstein, Eric W. “積分方程。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/IntegralEquation.html

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