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弗雷德霍姆第二類積分方程

一個 積分方程 形式如下

phi(x)=f(x)+lambdaint_(-infty)^inftyK(x,t)phi(t)dt
(1)
phi(x)=1/(sqrt(2pi))int_(-infty)^infty(F(t)e^(-ixt)dt)/(1-sqrt(2pi)lambdaK(t)).
(2)

一般弗雷德霍姆第二類積分方程的解被稱為積分方程諾伊曼級數。

具有可分離積分核的弗雷德霍姆第二類積分方程可以如下求解

phi(x)=f(x)+int_a^bK(x,t)phi(t)dt
(3)
=f(x)+lambdasum_(j=1)^(n)M_j(x)int_a^bN_j(t)phi(t)dt
(4)
=f(x)+lambdasum_(j=1)^(n)c_jM_j(x),
(5)

其中

c_j=int_a^bN_j(t)phi(t)dt.
(6)

現在將 (◇) 兩邊乘以 N_i(x)，並對 dx 進行積分。

int_a^bphi(x)N_i(x)dx=int_a^bf(x)N_i(x)dx+lambdasum_(j=1)^nc_jint_a^bM_j(x)N_i(x)dx.
(7)

根據 (◇)，第一項就是 c_i。現在定義

b_i=int_a^bN_i(x)f(x)dx
(8)
a_(ij)=int_a^bN_i(x)M_j(x)dx,
(9)

因此 (◇) 變為

c_i=b_i+lambdasum_(j=1)^na_(ij)c_j.
(10)

將其寫成矩陣形式，

C=B+lambdaAC,
(11)

所以

(I-lambdaA)C=B
(12)
C=(I-lambdaA)^(-1)B.
(13)

另請參閱

弗雷德霍姆第一類積分方程, 積分方程, 積分方程諾伊曼級數, 沃爾泰拉第一類積分方程, 沃爾泰拉第二類積分方程

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參考文獻

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, p. 865, 1985.Baker, C. T. H. The Numerical Treatment of Integral Equations. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 358-360, 1977.Pearson, C. E. Handbook of Applied Mathematics. New York: Van Nostrand, 1990.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Fredholm Equations of the Second Kind." §18.1 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 782-785, 1992.

在 上被引用

弗雷德霍姆第二類積分方程

請引用為

Weisstein, Eric W. "Fredholm Integral Equation of the Second Kind." 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/FredholmIntegralEquationoftheSecondKind.html

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