多項式

多項式是一個數學表示式，包含一個或多個變數的冪與係數的乘積之和。一個單變數多項式（即單變數多項式），其係數為常數，由下式給出：

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包含係數的各個加數（通常）被稱為單項式（Becker 和 Weispfenning 1993，第 191 頁），而在多元情況下，形式為 的乘積，即省略係數，被稱為項（Becker 和 Weispfenning 1993，第 188 頁）。然而，“單項式”一詞有時也用於表示不帶係數的多項式加數，而在一些較早期的著作中，單項式和項的定義是相反的。因此，在試圖區分這些衝突的用法時需要謹慎。

單變數多項式中的最高冪稱為其階，或有時稱為其次數。

任何多項式 ，其中 可以表示為：

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其中乘積遍歷 的根 ，並且理解為重根按重數計數。

一個雙變數多項式（即雙變數多項式），其係數為常數，由下式給出：

(3)

兩個多項式的和是透過將具有相同變數冪（即相同的項）的係數相加得到的，例如，

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其階數小於（在首項抵消的情況下）或等於原始兩個多項式的最大階數。類似地，兩個多項式的乘積是透過逐項相乘並組合結果得到的，例如

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其階數等於原始兩個多項式的階數之和。

一個多項式商

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兩個多項式 和 被稱為有理函式。執行這種除法的過程稱為長除法，其中綜合除法是記錄除法的簡化方法。

對於任何多項式 ， 可以整除 ，這意味著多項式商是一個有理多項式，或者在整係數多項式的情況下，是另一個整係數多項式（N. Sato，私人通訊，2004 年 11 月 23 日）。

將係數首尾交換，產生一個多項式

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其根是原始根 的倒數 倒數 。

霍納法則 提供了一種從其係數列表形成多項式的計算高效方法，並且可以在 Wolfram 語言 中實現，如下所示。

  Polynomial[l_List, x_] := Fold[x #1 + #2&, 0, l]

下表給出了低階多項式的特殊名稱。

如果先計算一些量，則可以使用三次乘法和五次加法計算四次多項式（Press et al. 1989）

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其中

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類似地，可以使用四次乘法和五次加法計算五次多項式，可以使用四次乘法和七次加法計算六次多項式。

一階到四階多項式僅使用有理運算和有限開方即可求解。一階方程是平凡可解的。二階方程可以使用二次方程求解。三階方程可以使用三次方程求解。四階方程可以使用四次方程求解。Abel 和 Galois 使用群論證明了五階和更高階的一般方程不能透過有限開方進行有理解（阿貝爾不可能性定理）。

然而，一般五次方程的解可以用單變數雅可比 theta 函式或超幾何函式表示。Hermite 和 Kronecker 證明了更高階的多項式不能以相同的方式求解。Klein 表明 Hermite 的工作隱含在群的二十面體性質中。Klein 的用單變數超幾何函式求解五次方程的方法可以擴充套件到六次方程，但對於更高階的多項式，必須使用多變數超幾何函式或“Siegel 函式”（Belardinelli 1960，King 1996，Chow 1999）。在 1880 年代，Poincaré 建立了以有限形式給出 階多項式方程解的函式。這些函式被證明是橢圓函式的“自然”推廣。