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超幾何函式

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一個 廣義超幾何函式 _pF_q(a_1,...,a_p;b_1,...,b_q;x) 是可以定義為 超幾何級數 形式的函式，即，一個級數，其連續項的比率可以寫成

(c_(k+1))/(c_k)=(P(k))/(Q(k))=((k+a_1)(k+a_2)...(k+a_p))/((k+b_1)(k+b_2)...(k+b_q)(k+1))x.
(1)

（k+1 在分母中的因子是出於歷史符號的原因。）

對應於 _2F_1(a,b;c;x)，其中 p=2，q=1 的函式是第一個被研究的超幾何函式（並且通常在物理問題中最常見），因此經常被稱為“超幾何方程”，或者更明確地說是高斯超幾何函式（Gauss 1812, Barnes 1908）。更令人困惑的是，術語“超幾何函式”較少用於表示 閉合形式，而“超幾何級數”有時用於表示超幾何函式。

超幾何函式是 超幾何微分方程的解，該方程在原點處有一個正則奇點。要從超幾何微分方程推匯出超幾何函式

z(1-z)y^('')+[c-(a+b+1)z]y^'-aby=0,
(2)

使用弗羅貝尼烏斯方法將其簡化為

sum_(n=0)^infty{(n+1)(n+c)A_(n+1)-[n^2+(a+b)n+ab]A_n}z^n=0,
(3)

得到指標方程

A_(n+1)=((n+a)(n+b))/((n+1)(n+c))A_n.
(4)

將其代入試探解級數

y=sum_(n=0)^inftyA_nz^n
(5)

然後給出解

y=A_0[1+(ab)/(1!c)z+(a(a+1)b(b+1))/(2!c(c+1))z^2+...].
(6)

這是所謂的正則解，表示為

_2F_1(a,b;c;z)=1+(ab)/(1!c)z+(a(a+1)b(b+1))/(2!c(c+1))z^2+...
(7)
=sum_(n=0)^(infty)((a)_n(b)_n)/((c)_n)(z^n)/(n!),
(8)

如果 c 不是負整數 (1) 對於所有的 |z|<1，並且 (2) 在單位圓 |z|=1 上，如果 R[c-a-b]>0。這裡，(a)_n 是一個 波赫哈默爾符號。

超幾何微分方程的完整解是

y=A_2F_1(a,b;c;z)+Bz^(1-c)_2F_1(a+1-c,b+1-c;2-c;z).
(9)

對於任意 a, b 和 c，超幾何級數對於 實數 -1<z<1 收斂，並且對於 z=+/-1，如果 c>a+b。

_2F_1(a,b;c;z) 的導數由下式給出

(d_2F_1(a,b;c;z))/(dz)=(ab)/c_2F_1(a+1,b+1;c+1;z)
(10)
(d^2_2F_1(a,b;c;z))/(dz^2)=(a(a+1)b(b+1))/(c(c+1))_2F_1(a+2,b+2;c+2;z)
(11)

（Magnus 和 Oberhettinger 1949, p. 8）。

具有特殊引數的超幾何函式可以簡化為初等函式，例如，

_2F_1(1,1;1;z)=1/(1-z)
(12)
_2F_1(1,1;2;z)=-(ln(1-z))/z
(13)
_2F_1(1,2;1;z)=1/((1-z)^2)
(14)
_2F_1(1,2;2;z)=1/(1-z).
(15)

給出超幾何函式的積分是

_2F_1(a,b;c;z)=(Gamma(c))/(Gamma(b)Gamma(c-b))int_0^1(t^(b-1)(1-t)^(c-b-1))/((1-tz)^a)dt
(16)

正如 Euler 在 1748 年所展示的 (Bailey 1935, pp. 4-5)。Barnes (1908) 給出了輪廓積分

_2F_1(a,b;c;z)=1/(2pii)int_(-iinfty)^(iinfty)(Gamma(a+s)Gamma(b+s)Gamma(-s))/(Gamma(c-s))(-z)^sds,
(17)

其中 |arg(-z)|<pi，並且路徑是彎曲的（如果必要），以分隔極點 s=-a-n, s=-b-n, ... (n=0, 1, ...) 與極點 s=0, 1 ... (Bailey 1935, pp. 4-5; Whittaker 和 Watson 1990) 分開。

奇怪的是，在許多非常特殊的點上，超幾何函式可以呈現有理數，

_2F_1(1/3,2/3;5/6;(27)/(32))=8/5
(18)
_2F_1(1/4,1/2;3/4;(80)/(81))=9/5
(19)

（M. Trott，私人通訊，Aug. 5, 2002；Zucker 和 Joyce 2001），二次無理數

_2F_1(1/8,3/8;1/2;(2400)/(2401))=2/3sqrt(7)
(20)
_2F_1(1/6,1/3;1/2;(25)/(27))=3/4sqrt(3)
(21)

（Zucker 和 Joyce 2001），和其他精確值

_2F_1(1/6,1/2;2/3;(125)/(128))=4/32^(1/6)
(22)
_2F_1(1/(12),5/(12);1/2;(1323)/(1331))=3/4(11)^(1/4)
(23)
_2F_1(1/(12),5/(12);1/2;(121)/(125))=(2^(1/6)(15)^(1/4))/(4sqrt(pi))([Gamma(1/3)]^3)/([Gamma(1/4)]^2)(1+sqrt(3))
(24)

（Zucker 和 Joyce 2001, 2003）。

對於具有有理引數的良好定位的超幾何函式，有理值的無限族由下式給出

_kF_(k-1)(1/(k+1),...,k/(k+1);2/k,3/k,...,(k-1)/k,(k+1)/k;((x(1-x^k))/(f_k))^k)=1/(1-x^k)
(25)

對於 k=2, 3, ..., 0<=x<=(k+1)^(-1/k), 和

f_k=k/((1+k)^(1+1/k))
(26)

（M. L. Glasser，私人通訊，Sept. 26, 2003）。這給出了特定的恆等式

_2F_1(1/3,2/3;3/2;(27)/4x^2(1-x^2)^2) =(2sin[1/3sin^(-1)(3/2sqrt(3)x(1-x^2))])/(sqrt(3)x(1-x^2)) =1/(1-x^2)
(27)

對於 0<=x<=sqrt(3)/3。

超幾何函式可以使用 尤拉的超幾何變換 寫成

t->t
(28)
t->1-t
(29)
t->(1-z-tz)^(-1)
(30)
t->(1-t)/(1-tz)
(31)

以下四種等價形式中的任何一種

_2F_1(a,b;c;z)=(1-z)^(-a)_2F_1(a,c-b;c;z/(z-1))
(32)
=(1-z)^(-b)_2F_1(c-a,b;c;z/(z-1))
(33)
=(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-a,c-b;c;z)
(34)

（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 559）。

它也可以寫成線性組合

_2F_1(a,b;c;z)=(Gamma(c)Gamma(c-a-b))/(Gamma(c-a)Gamma(c-b))_2F_1(a,b;a+b+1-c;1-z) +(Gamma(c)Gamma(a+b-c))/(Gamma(a)Gamma(b))(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)
(35)

（Barnes 1908；Bailey 1935, pp. 3-4；Whittaker 和 Watson 1990, p. 291）。

Kummer 找到了 超幾何微分方程 的所有六個解（不一定在原點處正則）

u_1(x)=_2F_1(a,b;c;z)
(36)
u_2(x)=_2F_1(a,b;a+b+1-c;1-z)
(37)
u_3(x)=z^(-a)_2F_1(a,a+1-c;a+1-b;z^(-1))
(38)
u_4(x)=z^(-b)_2F_1(b+1-c,b;b+1-a;z^(-1))
(39)
u_5(x)=z^(1-c)_2F_1(b+1-c,a+1-c;2-c;z)
(40)
u_6(x)=(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-a,c-b;c+1-a-b;1-z)
(41)

（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 563）。

將 尤拉的超幾何變換 應用於 Kummer 解，然後給出所有 24 種可能的形式，它們是 超幾何微分方程 的解

u_1^((1))(x)=_2F_1(a,b;c;z)
(42)
u_1^((2))(x)=(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-a,c-b;c;z)
(43)
u_1^((3))(x)=(1-z)^(-a)_2F_1(a,c-b;c;z/(z-1))
(44)
u_1^((4))(x)=(1-z)^(-b)_2F_1(c-a,b;c;z/(z-1))
(45)
u_2^((1))(x)=_2F_1(a,b;a+b+1-c;1-z)
(46)
u_2^((2))(x)=z^(1-c)_2F_1(a+1-c,b+1-c;a+b+1-c;1-z)
(47)
u_2^((3))(x)=z^(-a)_2F_1(a,a+1-c;a+b+1-c;1-z^(-1))
(48)
u_2^((4))(x)=z^(-b)_2F_1(b+1-c,b;a+b+1-c;1-z^(-1))
(49)
u_3^((1))(x)=(-z)^(-a)_2F_1(a,a+1-c;a+1-b;z^(-1))
(50)
u_3^((2))(x)=(-z)^(b-c)(1-z)^(c-a-b)_2F_1(1-b,c-b;a+1-b;z^(-1))
(51)
u_3^((3))(x)=(1-z)^(-a)_2F_1(a,c-b;a+1-b;(1-z)^(-1))
(52)
u_3^((4))(x)=(-z)^(1-c)(1-z)^(c-a-1)_2F_1(a+1-c,1-b;a+1-b;(1-z)^(-1))
(53)
u_4^((1))(x)=(-z)^(-b)_2F_1(b+1-c,b;b+1-a;z^(-1))
(54)
u_4^((2))(x)=(-z)^(a-c)(1-z)^(c-a-b)_2F_1(1-a,c-a;b+1-a;z^(-1))
(55)
u_4^((3))(x)=(1-z)^(-b)_2F_1(b,c-a;b+1-a;(1-z)^(-1))
(56)
u_4^((4))(x)=(-z)^(1-c)(1-z)^(c-b-1)_2F_1(b+1-c,1-a;b+1-a;(1-z)^(-1))
(57)
u_5^((1))(x)=z^(1-c)_2F_1(a+1-c,b+1-c;2-c;z)
(58)
u_5^((2))(x)=z^(1-c)(1-z)^(c-a-b)_2F_1(1-a,1-b;2-c;z)
(59)
u_5^((3))(x)=z^(1-c)(1-z)^(c-a-1)_2F_1(a+1-c,1-b;2-c;z/(z-1))
(60)
u_5^((4))(x)=z^(1-c)(1-z)^(c-b-1)_2F_1(b+1-c,1-a;2-c;z/(z-1))
(61)
u_6^((1))(x)=(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-a,c-b;c+1-a-b;1-z)
(62)
u_6^((2))(x)=z^(1-c)(1-z)^(c-a-b)_2F_1(1-a,1-b;c+1-a-b;1-z)
(63)
u_6^((3))(x)=z^(a-c)(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-a,1-a;c+1-a-b;1-z^(-1))
(64)
u_6^((4))(x)=z^(b-c)(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-b,1-b;c+1-a-b;1-z^(-1))
(65)

（Kummer 1836；Erdélyi et al. 1981, pp. 105-106）。

Goursat (1881) 和 Erdélyi et al. (1981) 給出了許多超幾何變換公式，包括幾個三次變換。

數學物理的許多函式可以表示為超幾何函式的特殊情況。例如，

_2F_1(-l,l+1;1;(1-z)/2)=P_l(z),
(66)

其中 P_l(z) 是勒讓德多項式。

(1+z)^n=_2F_1(-n,b;b;-z)
(67)
ln(1+z)=z_2F_1(1,1;2;-z)
(68)

完整的橢圓積分和黎曼 P 級數也可以用 _2F_1(a,b;c;z) 表示。特殊值包括

_2F_1(a,b;a-b+1;-1)=2^(-a)sqrt(pi)(Gamma(1+a+b))/(Gamma(1+1/2a-b)Gamma(1/2+1/2a))
(69)
_2F_1(1,-a;a;-1)=(sqrt(pi))/2(Gamma(a))/(Gamma(a+1/2))+1
(70)
_2F_1(a,b;c;1/2)=2^a_2F_1(a,c-b;c;-1)
(71)
_2F_1(a,b;1/2(a+b+1);1/2)=(Gamma(1/2)Gamma[1/2(1+a+b)])/(Gamma[1/2(1+a)]Gamma[1/2(1+b)])
(72)
_2F_1(a,1-a;c;1/2)=(Gamma(1/2c)Gamma[1/2(c+1)])/(Gamma[1/2(a+c)]Gamma[1/2(1+c-a)])
(73)
_2F_1(a,b;c;1)=(Gamma(c)Gamma(c-a-b))/(Gamma(c-a)Gamma(c-b)).
(74)

Kummer 的第一個公式給出

_2F_1(1/2+m-k,-n;2m+1;1)=(Gamma(2m+1)Gamma(m+1/2+k+n))/(Gamma(m+1/2+k)Gamma(2m+1+n)),
(75)

其中 m!=-1/2，-1，-3/2，.... Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 557) 給出了許多附加的恆等式。

超幾何函式可以推廣到廣義超幾何函式

_nF_m(a_1,...,a_n;b_1,...,b_m;z).
(76)

形式為 _1F_1(a;b;z) 的函式稱為第一類合流超幾何函式，形式為 _0F_1(;b;z) 的函式稱為合流超幾何極限函式。

另請參閱

Appell 超幾何函式, Barnes 引理, Bradley 定理, Cayley 超幾何函式定理, Clausen 公式, 閉合形式, 第一類合流超幾何函式, 第二類合流超幾何函式, 合流超幾何極限函式, 鄰近函式, Darling 乘積, 廣義超幾何函式, Gosper 演算法, 超幾何恆等式, 超幾何級數, 雅可比多項式, Kummer 公式, Kummer 二次變換, Kummer 關係, 多元超幾何函式, Orr 定理, Pfaff 變換, q-超幾何函式, Ramanujan 超幾何恆等式, Saalschützian, Sister Celine 方法, Zeilberger 演算法

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參考文獻

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在 上被引用

超幾何函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "超幾何函式。" 來源： Web 資源。 https://mathworld.tw/HypergeometricFunction.html

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