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第二類合流超幾何函式

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第二類合流超幾何函式給出了合流超幾何微分方程的第二個線性獨立解。它也被稱為第二類庫默爾函式、特里科米函式或戈登函式。它被表示為 U(a,b,z)，並且可以由下式定義

U(a,b,z)=picsc(pib)[(_1F^~_1(a;b;z))/(Gamma(a-b+1))-(z^(1-b)_1F^~_1(a-b+1;2-b;z))/(Gamma(a))]
(1)
=z^(-a)_2F_0(a,1+a-b;;-z^(-1)),
(2)

其中 _1F^~_1(a;b;z) 是正則化的第一類合流超幾何函式，Gamma(z) 是伽瑪函式，而 _2F_0(a,b;;z) 是廣義超幾何函式（它在任何地方都不收斂，但作為形式冪級數存在；Abramowitz 和 Stegun 1972，第 504 頁）。

它具有積分表示

U(a,b,z)=1/(Gamma(a))int_0^inftye^(-zt)t^(a-1)(1+t)^(b-a-1)dt
(3)

對於 R[a],R[z]>0 (Abramowitz 和 Stegun 1972，第 505 頁)。

第二類合流超幾何函式在 Wolfram 語言中實現為HypergeometricU[a, b, z].

惠特克函式給出瞭解的另一種形式。

該函式具有麥克勞林級數

U(a,b,z)=-((b+az)Gamma(-b))/(Gamma(1+a-b))+(z^(1-b)Gamma(b-1))/(Gamma(a))+...,
(4)

和漸近級數

U(a,b,z)∼(1/z)^a[1+a(b-a-1)z^(-1) +1/2a(a+1)(a+b-1)(2+b-a)z^(-2)+...].
(5)

U(a,b,z) 的導數是

d/(dz)U(a,b,z)=-aU(a+1,b+1,z)
(6)

和不定積分

intU(a,b,z)dz=(G_(2,3)^(2,2)(x|1,2-a; 1,2-b,0))/(Gamma(a)Gamma(a-b+1))+C,
(7)

其中 G_(p,q)^(m,n)(x|a_1,...,a_p; b_1,...,b_q) 是梅耶 G 函式，而 C 是積分常數。

另請參閱

巴特曼函式, 第一類合流超幾何函式, 合流超幾何極限函式, 庫侖波函式, 康寧漢函式, 戈登函式, 超幾何函式, 泊松-夏利耶多項式, 多倫多函式, 韋伯函式, 惠特克函式

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/HypergeometricU/

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Confluent Hypergeometric Functions." Ch. 13 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 503-515, 1972.Arfken, G. "Confluent Hypergeometric Functions." §13.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 753-758, 1985.Buchholz, H. The Confluent Hypergeometric Function with Special Emphasis on its Applications. New York: Springer-Verlag, 1969.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 671-672, 1953.Slater, L. J. "The Second Form of Solutions of Kummer's Equations." §1.3 in Confluent Hypergeometric Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 5, 1960.Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Tricomi Function U(a;c;x)." Ch. 48 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 471-477, 1987.

在 中被引用

第二類合流超幾何函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "第二類合流超幾何函式。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/ConfluentHypergeometricFunctionoftheSecondKind.html

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