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廣義超幾何函式

廣義超幾何函式由超幾何級數給出，即一個級數，其連續項的比率可以寫成

(c_(k+1))/(c_k)=(P(k))/(Q(k))=((k+a_1)(k+a_2)...(k+a_p))/((k+b_1)(k+b_2)...(k+b_q)(k+1)).
(1)

（k+1 在分母中的因子是出於歷史符號的原因。）由此產生的廣義超幾何函式寫成

sum_(k=0)^(infty)c_kx^k=_pF_q[a_1,a_2,...,a_p; b_1,b_2,...,b_q;x]
(2)
=sum_(k=0)^(infty)((a_1)_k(a_2)_k...(a_p)_k)/((b_1)_k(b_2)_k...(b_q)_k)(x^k)/(k!),
(3)

其中 (a)_k 是 波赫哈默爾符號 或 升階乘

(a)_k=(Gamma(a+k))/(Gamma(a))=a(a+1)...(a+k-1).
(4)

一個廣義超幾何函式 _pF_q(a_1,...,a_p; b_1,...,b_q;x) 因此有 p 個型別 1 的引數和 q 個型別 2 的引數。

許多廣義超幾何函式都有特殊的名稱。_0F_1(;b;z) 被稱為合流超幾何極限函式，並在 Wolfram 語言 中實現為Hypergeometric0F1[b, z]。_1F_1(a;b;z) (也表示為 M(z)) 被稱為第一類合流超幾何函式，並在 Wolfram 語言 中實現為Hypergeometric1F1[a, b, z]。函式 _2F_1(a,b;c;z) 通常被稱為“超幾何函式”或高斯超幾何函式，並在 Wolfram 語言 中實現為Hypergeometric2F1[a, b, c, x]。任意廣義超幾何函式實現為HypergeometricPFQ[{a1, ...ap}, {b1, ..., bq}, x]。

廣義超幾何函式的表示法由波赫哈默爾在 1870 年引入，並由 Barnes (1907, 1908ab; Slater 1960, p. 2; Hardy 1999, p. 111) 修改。常用的表示法變體有很多，包括

_pF_q(a_1,...,a_p;b_1,...,b_q;x),
(5)

主要用於 p,q<=2，使用方括號而不是圓括號

_pF_q[a_1,...,a_p;b_1,...,b_q;x]
(6)

（Slater 1960, p. 2），包括在第一行末尾的 x，以及從右側對齊第二行的槽位

_pF_q[a_1,a_2,...,a_p;; b_1,...,b_q z; ]
(7)

（Bailey 1935, p. 9），包括在第一行末尾的 x，以及居中每一行

_pF_q[a_1,a_2,...,a_p;z; b_1,...,b_q]
(8)

（Bailey 1935, p. 14），使用嚴格的矩陣式對齊方式，每一列都沿著最右邊的元素向右對齊

_pF_q[a_1 a_2 ... a_p;; b_1 ..., b_q z; ]
(9)

或

_pF_q[a_1 a_2 ... a_p;; b_1 ..., b_q;z]
(10)

（Slater 1960, p. 31），以及一種變體，其中行居中，x 放置在右側，用豎線分隔並使用圓括號

_pF_q(a_1,a_2,...,a_p; b_1,...,b_q|x)
(11)

（Graham et al. 1994, p. 205）或使用方括號和分號

_pF_q[a_1,a_2,...,a_p; b_1,...,b_q;x].
(12)

後一種約定將在本文中使用，因為它在排版可能包含大量不同長度的符號引數的表示式時，在最節省空白空間的情況下，提供了最清晰的引數 x 的劃分。

如果引數等於 x=1，則通常完全省略引數，儘管尾隨分號可以保留或根據符號約定丟棄。Bailey (1935, p. 9) 使用以下符號

_pF_q[a_1,a_2,...,a_p;; b_1,...,b_q]=_pF_q[a_1,a_2,...,a_p;1; b_1,b_2,...,b_q],
(13)

儘管在本文中，分號將被省略，即，

_pF_q[a_1,a_2,...,a_p; b_1,b_2,...,b_q]=_pF_q[a_1,a_2,...,a_p; b_1,b_2,...,b_q].
(14)

坎佩·德·費裡埃函式是廣義超幾何函式對兩個變數的推廣。

廣義超幾何函式 F_n(x)=_pF_q[a_1,a_2...,a_p; b_1,b_2,...,b_q;x] 滿足

thetaF_n(x)=n[F_(n+1)(x)-F_n(x)]
(15)

對於其任何分子引數 n=alpha_k，以及

thetaF_n(x)=(n-1)[F_(n-1)(x)-F_n(x)]
(16)

對於其任何分母引數 n=beta_k，其中

theta=zd/(dz)
(17)

是微分運算元（Rainville 1971, Koepf 1998, p. 27）。

廣義超幾何函式

_(p+1)F_p[a_1,a_2,...,a_(p+1); b_1,b_2,...,b_p;z]
(18)

是微分方程的解

[theta(theta+b_1-1)...(theta+b_p-1)-z(theta+a_1)(theta+a_2)...(theta+a_(p+1))]y=0
(19)

（Bailey 1935, p. 8）。另一個線性獨立的解是

z^(1-b_1)_(p+1)F_p[1+a_1-b_1,1-a_2-b_2,...,1+a_(p+1)-b_1; 2-b_1,1-b_2-b_1,...,1-b_p-b_1;z].
(20)

廣義超幾何函式 _(q+1)F_q 在單位圓上絕對收斂，如果

R(sum_(j=1)^qbeta_j-sum_(j=1)^(q+1)alpha_j)>0
(21)

（Rainville 1971, Koepf 1998）。

許多和可以寫成廣義超幾何函式，透過檢查生成超幾何級數中連續項的比率。例如，對於

f(n)=sum_(k)(-1)^k(2n; k)^2,
(22)

連續項的比率為

(a_(k+1))/(a_k)=((-1)^(k+1)(2n; k+1)^2)/((-1)^k(2n; k)^2)=-((k-2n)^2)/((k+1)^2),
(23)

得到

f(n)=_2F_1[-2n,-2n; 1;-1]=_2F_1(-2n,-2n;1;-1)
(24)

（Petkovšek et al. 1996, pp. 44-45）。

Gosper (1978) 發現了一系列不尋常的超幾何函式恆等式，其中許多隨後被 Gessel 和 Stanton (1982) 證明。Gosper 技術的重要的推廣，稱為Zeilberger 演算法，反過來又導致了 Wilf-Zeilberger 對 的強大機制（Zeilberger 1990）。

特殊的超幾何恆等式包括高斯超幾何定理

_2F_1(a,b;c;1)=(Gamma(c)Gamma(c-a-b))/(Gamma(c-a)Gamma(c-b))
(25)

對於 R[c-a-b]>0，庫默爾公式

_2F_1(a,b;c;-1)=(Gamma(1/2b+1)Gamma(b-a+1))/(Gamma(b+1)Gamma(1/2b-a+1)),
(26)

其中 a-b+c=1 且 b 是正整數，Saalschütz 定理

_3F_2(a,b,c;d,e;1)=((d-a)_(|c|)(d-b)_(|c|))/(d_(|c|)(d-a-b)_(|c|))
(27)

對於 d+e=a+b+c+1 且 c 是負整數，(a)_n 是 波赫哈默爾符號，狄克遜定理

_3F_2(a,b,c;d,e;1)=((1/2a)!(a-b)!(a-c)!(1/2a-b-c)!)/(a!(1/2a-b)!(1/2a-c)!(a-b-c)!),
(28)

其中 1+a/2-b-c 具有正實部，d=a-b+1，以及 e=a-c+1，克勞森公式

_4F_3[a,b,c,d; e,f,g;1]=((2a)_(|d|)(a+b)_(|d|)(2b)_(|d|))/((2a+2b)_(|d|)a_(|d|)b_(|d|)),
(29)

對於 a+b+c-d=1/2，e=a+b+1/2，a+f=d+1=b+g，d 是非正整數，以及Dougall-Ramanujan 恆等式

_7F_6[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7; b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6;1] =((a_1+1)_n(a_1-a_2-a_3+1)_n)/((a_1-a_2+1)_n(a_1-a_3+1)_n)((a_1-a_2-a_4+1)_n(a_1-a_3-a_4+1)_n)/((a_1-a_4+1)_n(a_1-a_2-a_3-a_4+1)_n),
(30)

其中 n=2a_1+1=a_2+a_3+a_4+a_5，a_6=1+a_1/2，a_7=-n，且 b_i=1+a_1-a_(i+1) 對於 i=1, 2, ..., 6。對於所有這些恆等式，(a)_n 是 波赫哈默爾符號。

Gessel (1995) 使用 Wilf-Zeilberger 對 發現了一系列新的恆等式，包括以下內容

_5F_4[-a-b,n+1,n+c+1,2n-a-b+1,n+1/2(3-a-b); n-a-b-c+1,n-a-b+1,2n+2,n+1/2(1-a-b);1]=0
(31)
_3F_2[-3n,2/3-c,3n+2; 3/2,1-3c;3/4]=((c+2/3)_n(1/3)_n)/((1-c)_n(4/3)_n)
(32)
_3F_2[-3b,-3/2n,1/2(1-3n); -3n,2/3-b-n;4/3]=((1/3-b)_n)/((1/3+b)_n)
(33)
_4F_3[3/2+1/5n,2/3,-n,2n+2; n+(11)/6,4/3,1/5n+1/2;2/(27)]=((5/2)_n((11)/6)_n)/((3/2)_n(7/2)_n)
(34)

（Petkovšek et al. 1996, pp. 135-137）。

下表給出了各種命名的恆等式，按 (p,q) 階排序，它們涉及的 _pF_qs。Bailey (1935) 給出了大量的此類恆等式。

_2F_1高斯超幾何定理, 庫默爾定理, 奧爾定理, 拉馬努金超幾何恆等式
_3F_2達林乘積, 狄克遜定理, 拉馬努金超幾何恆等式, Saalschütz 定理, Thomae 定理, 沃森定理, 惠普爾恆等式
_4F_3克勞森公式, 斯萊特公式, 惠普爾變換
_5F_4Dougall 定理
_6F_5惠普爾恆等式
_7F_6Dougall-Ramanujan 恆等式, 惠普爾變換
_9F_8Bailey 變換

Nørlund (1955) 給出了通用變換

_nF_(n-1)[a_1,a_2,...,a_n; b_1,b_2,...,b_(n-1);xz] =(1-z)^(-a_1)sum_(nu=0)^infty((a_1)_nu)/(nu!)_nF_(n-1)[-nu,a_2,a_3,...,a_n; b_1,b_2,...,b_(n-1);x](z/(z-1))^nu,
(35)

其中 (a)_n 是 波赫哈默爾符號。這個恆等式基於尤拉的變換

sum_(n=0)^infty((a)_n)/(n!)a_nz^n=(1-z)^(-a)sum_(n=0)^infty((a)_n)/(n!)Delta^na_0(z/(1-z))^n,
(36)

其中 Delta 是前向差分，並且

Delta^ka_0=sum_(m=0)^k(-1)^m(k; m)a_(k-m)
(37)

（Nørlund 1955）。

另請參閱

卡爾森定理, 克勞森公式, 第一類合流超幾何函式, 合流超幾何極限函式, 狄克遜定理, Dougall-Ramanujan 恆等式, Dougall 定理, 廣義超幾何微分方程, Gosper 演算法, 超幾何函式, 超幾何恆等式, 超幾何級數, 傑克遜恆等式, k-平衡, 坎佩·德·費裡埃函式, 庫默爾定理, Lauricella 函式, 近乎平衡, q-超幾何函式, 拉馬努金超幾何恆等式, Saalschütz 定理, Saalschützian, 西琳妹妹方法, 斯萊特公式, Thomae 定理, 沃森定理, 良好平衡, 惠普爾恆等式, 惠普爾變換, Wilf-Zeilberger 對, Zeilberger 演算法

相關的 Wolfram 站點

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參考文獻

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在 上引用

廣義超幾何函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "廣義超幾何函式。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/GeneralizedHypergeometricFunction.html

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