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Wilf-Zeilberger 對

一對 閉合形式 函式 (F,G) 被稱為 Wilf-Zeilberger 對，如果

F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k).
(1)

Wilf-Zeilberger 形式體系為 已知 恆等式提供了簡潔的證明，並且當它成功為 已知 恆等式找到證明證書時，允許發現新的恆等式。然而，如果起點是一個未知的超幾何和，那麼 Wilf-Zeilberger 方法無法發現閉合形式解，而 Zeilberger 演算法 可以。

Wilf-Zeilberger 對在證明 超幾何恆等式 形式的恆等式中非常有用

sum_(k)t(n,k)=rhs(n)
(2)

對於這種形式，加數 t(n,k) 對於所有 k 在某個有限區間之外時消失。現在除以右側得到

sum_(k)F(n,k)=1,
(3)

其中

F(n,k)=(t(n,k))/(rhs(n)).
(4)

現在使用 有理函式 R(n,k) 由 Zeilberger 演算法提供，定義

G(n,k)=R(n,k)F(n,k).
(5)

恆等式 (◇) 隨之得出。將關係式對所有整數求和，則右側伸縮為 0，得到

sum_(k)F(n+1,k)=sum_(k)F(n,k).
(6)

因此，sum_(k)F(n,k) 與 n 無關，因此必須是一個常數。如果 F 被正確歸一化，那麼 sum_(k)F(0,k)=1 將為真。

例如，考慮二項式係數恆等式

sum_(k=0)^n(n; k)=2^n,
(7)

R(n,k) 由 Zeilberger 演算法返回的函式 是

R(n,k)=k/(2(k-n-1)).
(8)

因此，

F(n,k)=(n; k)2^(-n)
(9)

和

G(n,k)=R(n,k)F(n,k)
(10)
=k/(2(k-n-1))(n; k)2^(-n)
(11)
=-(kn!2^(-n))/(2(n+1-k)k!(n-k)!)
(12)
=-(n; k-1)2^(-n-1).
(13)

取

F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k)
(14)

然後給出所謂的恆等式

(n+1; k)2^(-n-1)-(n; k)2^(-n)=-(n; k)2^(-n-1)+(n; k-1)2^(-n-1)?
(15)

展開和計算表明該恆等式確實成立，並且也可以驗證

F(0,k)=(0; k)={1 for k=0; 0 otherwise,
(16)

因此 sum_(k)F(0,k)=1 (Petkovšek et al. 1996, pp. 25-27)。

對於任何 Wilf-Zeilberger 對 (F,G)，

sum_(n=0)^inftyG(n,0)=sum_(n=1)^infty[F(n,n-1)+G(n-1,n-1)]
(17)

只要任一側收斂 (Zeilberger 1993)。此外，

sum_(n=0)^inftyG(n,0)=sum_(n=0)^infty[F(s(n+1),n)+sum_(i=0)^(s-1)G(sn+i,n)] -lim_(n->infty)sum_(k=0)^(n-1)F(sn,k)
(18)
sum_(k=0)^inftyF(0,k)=sum_(n=0)^inftyG(n,0)-lim_(k->infty)sum_(n=0)^kG(n,k),
(19)

和

sum_(n=0)^inftyG(n,0)=sum_(n=0)^infty[sum_(j=0)^(t-1)F(s(n+1),tn+j)+sum_(i=0)^(s-1)G(sn+i,tn)]-lim_(n->infty)sum_(k=0)^(n-1)F_(s,t)(n,k),
(20)

其中

F_(s,t)(n,k)=sum_(j=0)^(t-1)F(sn,tk+j)
(21)
G_(s,t)(n,k)=sum_(i=0)^(s-1)G(sn+i,tk)
(22)

(Amdeberhan 和 Zeilberger 1997)。後一個恆等式已被用於計算 Apéry 常數到很多位小數 (Wedeniwski)。

另請參閱

Apéry 常數, 收斂加速, Gosper 演算法, Sister Celine 方法, Zeilberger 演算法

使用 探索

參考文獻

Amdeberhan, T. and Zeilberger, D. "透過 WZ 方法加速超幾何級數。" Electronic J. Combinatorics 4, No. 2, R3, 1-3, 1997. http://www.combinatorics.org/Volume_4/Abstracts/v4i2r3.html. Also available at http://www.math.temple.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/accel.html.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. "Wilf-Zeilberger 演算法。" §3.1 in 行動中的實驗數學。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 53-55, 2007.Cipra, B. A. "格林奇如何偷走數學。" Science 245, 595, 1989.Koepf, W. "m 重超幾何求和的演算法。" J. Symb. Comput. 20, 399-417, 1995.Koepf, W. "Wilf-Zeilberger 方法。" Ch. 6 in 超幾何求和：求和與特殊函式恆等式的演算法方法。 Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 80-92, 1998.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. "WZ 現象。" Ch. 7 in A=B。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 121-140, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Wedeniwski, S. "Zeta(3) 的 128000026 位數字。" http://pi.lacim.uqam.ca/eng/records_en.html.Wilf, H. S. and Zeilberger, D. "有理函式證明組合恆等式。" J. Amer. Math. Soc. 3, 147-158, 1990.Zeilberger, D. "創造性伸縮法。" J. Symb. Comput. 11, 195-204, 1991.Zeilberger, D. "閉合形式（雙關語！）。" Contemporary Math. 143, 579-607, 1993.

在 中被引用

Wilf-Zeilberger 對

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "Wilf-Zeilberger 對。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Wilf-ZeilbergerPair.html

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