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收斂性改進

級數收斂性質的改進，也稱為加速收斂，使得級數達到其極限所需的項數比之前更少，以達到一定的精度。收斂性改進可以透過與已知和的級數形成線性組合來實現。有用的和包括

sum_(n=1)^(infty)1/(n(n+1))=1
(1)
sum_(n=1)^(infty)1/(n(n+1)(n+2))=1/4
(2)
sum_(n=1)^(infty)1/(n(n+1)(n+2)(n+3))=1/(18)
(3)
sum_(n=1)^(infty)1/(n(n+1)...(n+p))=1/(p·p!).
(4)

庫默爾變換採用一個收斂級數

s=sum_(k=0)^inftya_k
(5)

和另一個收斂級數

c=sum_(k=0)^inftyc_k
(6)

已知 c 使得

lim_(k->infty)(a_k)/(c_k)=lambda!=0.
(7)

那麼，一個更快收斂到相同值的級數由下式給出

s=lambdac+sum_(k=0)^infty(1-lambda(c_k)/(a_k))a_k
(8)

（Abramowitz 和 Stegun 1972）。

尤拉變換將一個收斂的交替級數

sum_(k=0)^infty(-1)^ka_k=a_0-a_1+a_2-...
(9)

轉換為一個更快收斂到相同值的級數

s=sum_(k=0)^infty((-1)^kDelta^ka_0)/(2^(k+1)),
(10)

其中

Delta^ka_0=sum_(m=0)^k(-1)^m(k; m)a_(k-m)
(11)

（Abramowitz 和 Stegun 1972；Beeler等人 1972）。

一種可以用來加速級數收斂的通用技術是在無窮遠處將它們展開為泰勒級數，並交換求和順序。在可以找到泰勒級數的符號形式的情況下，這有時甚至允許對原始變數的求和進行符號化。例如，考慮和的情況

c=sum_(k=2)^infty1/kln(k/(k-1))=0.7885305659115...
(12)

（OEIS A085361），它出現在Alladi-Grinstead 常數的定義中。被加數可以在無窮遠處展開得到

c=sum_(k=2)^(infty)k^(-2)+1/2k^(-3)+1/3k^(-4)+...
(13)
=sum_(k=2)^(infty)sum_(n=1)^(infty)1/(nk^(n+1)).
(14)

然後交換求和順序得到

c=sum_(n=1)^(infty)sum_(k=2)^(infty)1/(nk^(n+1))
(15)
=sum_(n=1)^(infty)(zeta(n+1)-1)/n,
(16)

其中 zeta(n) 是 黎曼zeta函式，它收斂得更快。

形式為

T(S_n)=(S_(n+1)S_(n-1)-S_n^2)/(S_(n+1)-2S_n+S_(n-1)),
(17)

其中

S_n=sum_(k=0)^na_k,
(18)

的變換是序列 {a_k}_(k=0)^infty 的第 n 個部分和，通常可用於改善級數收斂性（Hamming 1986，第 205 頁）。特別是，T(S_n) 可以寫成

T(S_n)=((S_n+a_(n+1))(S_n-a_n)-S_n^2)/(S_n+a_(n+1)-2S_n+S_n-a_n)
(19)
=S_n+(a_na_(n+1))/(a_n-a_(n+1)).
(20)

這種變換的應用可以使用 Wynn epsilon 方法 有效地執行。令 epsilon_0(S_n)=S_n， epsilon_(-1)(S_n)=0，以及

epsilon_(r+1)(S_n)=epsilon_(r-1)(S_(n+1))+1/(epsilon_r(S_(n+1))-epsilon_r(S_n))
(21)

對於 r=1、2、...（更正了 Hamming 1986，第 206 頁的排印錯誤）。epsilon_(2k)(S_n) 的值相當於對序列 S_n 應用 k 次變換的結果（Hamming 1986，第 206 頁）。

給定一個形式為

S=sum_(n=1)^inftyf(1/n),
(22)

的級數，其中 f(z) 是在 0 和閉單位圓盤上的解析函式，並且

f(z)|_(z->0)=O(z^2),
(23)

那麼，該級數可以重新排列為

S=sum_(n=1)^(infty)sum_(m=2)^(infty)f_m(1/n)^m
(24)
=sum_(m=2)^(infty)sum_(n=1)^(infty)f_m(1/n)^m
(25)
=sum_(m=2)^(infty)f_mzeta(m),
(26)

其中

f(z)=sum_(m=2)^inftyf_mz^m
(27)

是 f 的 麥克勞林級數，而 zeta(z) 是 黎曼zeta函式（Flajolet 和 Vardi 1996）。變換後的級數表現出幾何收斂性。類似地，如果 f(z) 在 |z|<=1/n_0 中是解析的，對於某個正整數 n_0，則

S=sum_(n=1)^(n_0-1)f(1/n)+sum_(m=2)^inftyf_m[zeta(m)-1/(1^m)-...-1/((n_0-1)^m)],
(28)

它幾何收斂（Flajolet 和 Vardi 1996）。方程 (28) 也可以用來進一步加速級數的收斂 (◇)。

參見

尤拉變換，菱形演算法，Wilf-Zeilberger 對，Wynn epsilon 方法

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, p. 16, 1972.Arfken, G. 物理學家數學方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 288-289, 1985.Beeler 等人. 專案 120，載於 Beeler, M.; Gosper, R. W.; 和 Schroeppel, R. HAKMEM。 Cambridge, MA: MIT 人工智慧實驗室，備忘錄 AIM-239, p. 55, 1972 年 2 月。 http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/series.html#item120.Flajolet, P. 和 Vardi, I. "經典常數的 Zeta 函式展開。" 未出版的手稿。1996. http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.Hamming, R. W. 科學家和工程師數值方法，第 2 版。 New York: Dover, pp. 206-207, 1986.Shanks, D. "發散和慢收斂序列的非線性變換。" J. Math. Phys. 34, 1-42, 1955.Sloane, N. J. A. 序列 A085361，載於 "整數序列線上百科全書"。

在 上被引用

收斂性改進

引用為

Weisstein, Eric W. "收斂性改進。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ConvergenceImprovement.html

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