尤拉變換

存在（至少）三種類型的尤拉變換（或轉換）。第一種是 超幾何函式 的一組變換，稱為 尤拉超幾何變換。

第二種型別的尤拉變換是一種用於 級數 加速收斂 的技術，它將收斂的交錯級數

(1)

轉換為具有更快收斂速度的級數，且收斂到相同的值，形式如下：

(2)

其中 前向差分 定義為

(3)

（Abramowitz 和 Stegun 1972；Beeler et al. 1972）。尤拉超幾何變換 和加速收斂變換透過以下事實相關聯：當在第二個 尤拉超幾何變換 中取 時，

(4)

其中 是一個 超幾何函式，它給出了級數 的尤拉加速收斂變換（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 555 頁）。

第三種類型的尤拉變換是某些型別的 整數序列 之間的關係（Sloane 和 Plouffe 1995，第 20-21 頁）。如果 , , ... 和 , , ... 透過下式關聯：

(5)

或者，用 生成函式 和 表示：

(6)

則稱 是 的尤拉變換（Sloane 和 Plouffe 1995，第 20 頁）。尤拉變換可以透過引入中間級數 , , ... 給定為：

(7)

然後

(8)

其中 。類似地，逆變換可以透過計算中間級數作為下式來實現：

(9)

然後

(10)

其中 是 莫比烏斯函式。

在 圖論 中，如果 是 無標號 連通圖 在 個節點上滿足某些屬性的數量，那麼 是具有相同屬性的總共 無標號圖（連通或不連通）的數量。尤拉變換的這種應用稱為無標號圖的 裡德爾公式（Sloane 和 Plouffe 1995，第 20 頁）。

尤拉變換也有重要的數論應用。例如，如果存在 種大小為 1 的部分， 種大小為 2 的部分，等等，在給定型別的劃分中，那麼 是 的尤拉變換是 劃分為這些整數部分的劃分數。例如，如果對於所有 ，則 是 劃分為整數部分的劃分數。類似地，如果對於 為 素數 且對於 為合數，則 是 劃分為素數部分的劃分數（Sloane 和 Plouffe 1995，第 21 頁）。Andrews (1986)、Andrews 和 Baxter (1989) 以及 Cameron (1989) 給出了其他應用。