級數

級數是由加法運算子組合在一起的項的無限有序集合。“無窮級數”一詞有時用於強調級數包含無限數量的項。級數中項的順序可能很重要，因為 Riemann 級數定理 指出，透過對項進行適當的重排，所謂的 條件收斂 級數可以收斂到任何期望的值，或者發散。

可以使用 Wolfram 語言 確定級數收斂的條件，使用SumConvergence[a, n].

如果級數的連續項之間的差是常數，則該級數被稱為 等差級數。如果級數中每兩個連續項的比率 是求和索引 的常數函式，則該級數稱為 等比級數。比率是 有理函式 的更一般情況產生稱為 超幾何級數 的級數。

級數可能收斂到確定的值，也可能不收斂，在這種情況下，它被稱為發散級數。令級數中的項表示為 ，令第 個 部分和 由下式給出

(1)

並令部分和序列由 給出。如果部分和序列收斂到確定的值，則稱該級數收斂。另一方面，如果部分和序列不收斂到 極限 （例如，它振盪或趨近於 ），則稱該級數發散。收斂級數的一個例子是 等比級數

(2)

發散級數的一個例子是 調和級數

(3)

有趣的是，雖然 調和級數 發散到無窮大，但 交錯調和級數 收斂到 自然對數 2，

(4)

另一個著名的收斂無窮級數是 Brun 常數。

許多稱為 收斂性檢驗 的方法可用於確定給定級數是否收斂。雖然級數的項可以有任意符號，但通常可以在所有項都是 正 的“最壞情況”下計算收斂性質，然後應用於手頭的特定級數。如果由 的絕對值形成的級數

(5)

收斂，則稱項 的級數是 絕對收斂 的。

一種特別強的收斂型別稱為 一致收斂，一致收斂的級數具有特別“良好”的性質。例如，一致收斂 的連續函式級數的和是連續的。收斂級數 可以逐項 求導，前提是級數的函式具有連續導數，並且 導數 的級數是 一致收斂 的。最後，一致收斂 的連續函式級數可以逐項 積分。

有關各種級數運算的 係數 表格，請參見 Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 15)。

雖然計算任意收斂無窮級數的解析表示式可能很困難，但許多演算法可以處理各種常見的級數型別。Wolfram 語言 計算系統實現了許多這些演算法。也存在用於計算任何但最 病態 級數的數值的一般技術 (Braden 1992)。

一個特定的無窮級數恆等式由下式給出

			(6)
			(7)

對於 。

Apostol (1997, p. 25) 給出瞭解析和

(8)

其中 是 伯努利數。

Ramanujan 發現了有趣的級數恆等式

(9)

(Preece 1928; Hardy 1999, p. 7)，可以寫成超幾何恆等式

(10)

以下型別的無窮級數（冪和）也可以解析計算，

			(11)
			(12)
			(13)

其中 是 Pochhammer 符號。

Gosper 指出和

			(14)
			(15)
			(16)

(OEIS A100074)。

以下形式的無窮級數可以以閉合形式完成。

(17)

其中 是 階多項式 。前幾個多項式是

			(18)
			(19)
			(20)
			(21)

(OEIS A085470)。

相關的無窮級數

(22)

也可以以閉合形式完成，其中 是 階多項式 。前幾個多項式是

			(23)
			(24)
			(25)
			(26)
			(27)

(OEIS A085471)。