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無窮乘積

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一個乘積，包含無窮多的項。這類乘積可以收斂。事實上，對於正 a_n, 乘積 product_(n=1)^(infty)a_n 收斂到一個非零數，當且僅當 sum_(n=1)^(infty)lna_n 收斂。

無窮乘積可以用來定義餘弦

cosx=product_(n=1)^infty[1-(4x^2)/(pi^2(2n-1)^2)],
(1)

伽瑪函式

Gamma(z)=[ze^(gammaz)product_(r=1)^infty(1+z/r)e^(-z/r)]^(-1),
(2)

正弦, 和 sinc 函式。它們也出現在多邊形外切,

K=product_(n=3)^infty1/(cos(pi/n)).
(3)

尤拉提出的一個有趣的無窮乘積公式，它關聯了 pi 和第 n 個素數 p_n 是

pi=2/(product_(n=1)^(infty)[1+(sin(1/2pip_n))/(p_n)])
(4)
=2/(product_(n=2)^(infty)[1+((-1)^((p_n-1)/2))/(p_n)])
(5)

(Blatner 1997). Knar's 公式 給出了 伽瑪函式 Gamma(x) 關於無窮乘積的函式方程

Gamma(1+v)=2^(2v)product_(m=1)^infty[pi^(-1/2)Gamma(1/2+2^(-m)v)].
(6)

一個正則化乘積恆等式由下式給出

infty!=product_(k=1)^^^inftyk=sqrt(2pi)
(7)

(Muñoz Garcia 和 Pérez-Marco 2003, 2008).

梅林公式指出

product_(n=0)^infty(1+y/(n+x))e^(-y/(n+x))=(e^(ypsi_0(x))Gamma(x))/(Gamma(x+y)),
(8)

其中 psi_0(x) 是 雙伽瑪函式，而 Gamma(x) 是 伽瑪函式。

以下型別的乘積

product_(n=2)^(infty)(n^2-1)/(n^2+1)=picschpi
(9)
product_(n=2)^(infty)(n^3-1)/(n^3+1)=2/3
(10)
product_(n=2)^(infty)(n^4-1)/(n^4+1)=-1/2pisinhpicsc[(-1)^(1/4)pi]csc[(-1)^(3/4)pi]
(11)
=(pisinh(pi))/(cosh(sqrt(2)pi)-cos(sqrt(2)pi))
(12)
product_(n=2)^(infty)(n^5-1)/(n^5+1)=(2Gamma(-(-1)^(1/5))Gamma((-1)^(2/5))Gamma(-(-1)^(3/5))Gamma((-1)^(4/5)))/(5Gamma((-1)^(1/5))Gamma(-(-1)^(2/5))Gamma((-1)^(3/5))Gamma(-(-1)^(4/5)))
(13)

(Borwein et al. 2004, pp. 4-6), 其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式，第一個在 Borwein 和 Corless (1999) 中給出，可以進行解析計算。特別地，對於 r>1,

product_(n=1; n!=m)^infty(n^r-m^r)/(n^r+m^r)=(-1)^(m+1)(2mm!)/rproduct_(j=1)^(2r-1)[Gamma(-momega_r^j)]^((-1)^(j+1)),
(14)

其中 omega_k=e^(ipi/k) (Borwein et al. 2004, pp. 6-7)。目前尚不清楚 (13) 是否是代數的，但已知它不滿足任何次數小於 21 且歐幾里得範數小於 5×10^(18) 的整係數多項式 (Borwein et al. 2004, p. 7)。

以下形式的乘積可以進行解析計算，

product_(k=1)^infty((1+k^(-1))^2)/(1+2k^(-1))=2 product_(k=1)^infty((1+k^(-1)+k^(-2))^2)/(1+2k^(-1)+3k^(-2)) =(3sqrt(2)cosh^2(1/2pisqrt(3))csch(pisqrt(2)))/pi product_(k=1)^infty((1+k^(-1)+k^(-2)+k^(-3))^2)/(1+2k^(-1)+3k^(-2)+4k^(-3))=(sinh^2piproduct_(i=1)^(3)Gamma(x_i))/(pi^2) product_(k=1)^infty((1+k^(-1)+k^(-2)+k^(-3)+k^(-4))^2)/(1+2k^(-1)+3k^(-2)+4k^(-3)+5k^(-4))=product_(i=1)^4(Gamma(y_i))/(Gamma^2(z_i)),
(15)

其中 x_i, y_i, 和 z_i 是以下方程的根

x^3-5x^2+10x-10=0
(16)
y^4-6y^3+15y^2-20y+15=0
(17)
z^4-5z^3+10z^2-10z+5=0,
(18)

分別地，也可以進行解析計算。請注意，(17) 和 (18) 是 Borwein 和 Corless (1999) 未知的。這些是以下結果的特例

product_(k=1)^infty(sum_(i=1)^(p)(a_i)/(k^i))/(sum_(i=0)^(q)(b_i)/(k^i))=(b_q)/(a_p)(product_(i=0)^(q)Gamma(-s_i))/(product_(i=0)^(p)Gamma(-r_i)),
(19)

如果 a_0=b_0=1 且 a_1=b_1, 其中 r_i 是 ith 個根 sum_(j=0)^(p)a_j/k^j 且 s_i 是 ith 個根 sum_(j=0)^(q)b_j/k^j (P. Abbott, 私人通訊., 3 月 30 日, 2006年).

對於 k>=2,

product_(n=2)^infty(1-1/(n^k))={1/(kproduct_(j=1)^(k-1)Gamma((-1)^(1+j(1+1/k)))) for k odd; (product_(j=1)^((k/2)-1)sin[pi(-1)^(2j/k)])/(k(pii)^((k/2)-1)) for k even
(20)

(D. W. Cantrell, 私人通訊., 4 月 18 日, 2006年). 前幾個顯式例子是

product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^2))=1/2
(21)
product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^3))=(cosh(1/2pisqrt(3)))/(3pi)
(22)
=1/(3Gamma((-1)^(1/3))Gamma(-(-1)^(2/3)))
(23)
product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^4))=(sinhpi)/(4pi)
(24)
product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^5))=1/(5Gamma((-1)^(1/5))Gamma(-(-1)^(2/5))Gamma((-1)^(3/5))Gamma(-(-1)^(4/5)))
(25)
product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^6))=(1+cosh(pisqrt(3)))/(12pi^2).
(26)

這些是一般公式的特例

product_(k=1)^infty(1-(x^n)/(k^n))=-1/(x^n)product_(k=0)^(n-1)1/(Gamma(-e^(2piik/n)x))
(27)

(Prudnikov et al. 1986, p. 754).

類似地，對於 k>=2,

product_(n=1)^infty(1+1/(n^k))={1/(product_(j=1)^(k-1)Gamma[(-1)^(j(1+1/k))]) for k odd; (product_(j=1)^(k/2)sin[pi(-1)^((2j-1)/k)])/((pii)^(k/2)) for k even
(28)

(D. W. Cantrell, 私人通訊., 3 月 29 日, 2006年). 前幾個顯式例子是

product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^2))=(sinhpi)/pi
(29)
product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^3))=1/picosh(1/2pisqrt(3))
(30)
product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^4))=(cosh(pisqrt(2))-cos(pisqrt(2)))/(2pi^2)
(31)
=-(sin[(-1)^(1/4)pi]sin[(-1)^(3/4)pi])/(pi^2)
(32)
product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^5))=|Gamma[exp(2/5pii)]Gamma[exp(6/5pii)]|^(-2)
(33)
product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^6))=(sinhpi[coshpi-cos(sqrt(3)pi)])/(2pi^3).
(34)

d-模擬 表示式

[infty!]_d=product_(n=3)^infty(1-(2^d)/(n^d))
(35)

也具有閉合形式的表示式，

product_(n=3)^(infty)(1-4/(n^2))=1/6
(36)
product_(n=3)^(infty)(1-8/(n^3))=(sinh(pisqrt(3)))/(42pisqrt(3))
(37)
product_(n=3)^(infty)(1-(16)/(n^4))=(sinh(2pi))/(120pi)
(38)
product_(n=3)^(infty)(1-(32)/(n^5))=|Gamma[exp(1/5pii)]Gamma[2exp(7/5pii)]|^(-2).
(39)

這類無窮乘積的一般表示式包括

product_(n=1)^(infty)[1-(z/n)^(2N)]=(sin(piz))/(piz^(2N-1))product_(k=1)^(N-1)|Gamma(ze^(2pii(k-N)/(2N)))|^(-2)
(40)
product_(n=1)^(infty)[1+(z/n)^(2N)]=1/(z^(2N))product_(k=1)^(N)|Gamma(ze^(pii[2(k-N)-1]/(2N)))|^(-2)
(41)
product_(n=1)^(infty)[1-(z/n)^(2N+1)]=1/(Gamma(1-z)z^(2N))product_(k=1)^(N)|Gamma(ze^(pii[2(k-N)-1]/(2N+1)))|^(-2)
(42)
product_(n=1)^(infty)[1+(z/n)^(2N+1)]=1/(Gamma(1+z)z^(2N))product_(k=1)^(N)|Gamma(ze^(2pii(k-N-1)/(2N+1)))|^(-2),
(43)

其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式，而 |z| 表示 復模 (Kahovec). (40) 和 (41) 也可以改寫為

product_(n=1)^(infty)[1-(z/n)^(2N)]=(sin(piz))/(pi^3z^2)[(sinh(piz))/(piz)]^(mod(N+1,2))×product_(k=1)^([N/2]-1)cosh^2[pizsin((kpi)/N)]-cos^2[pizcos((kpi)/N)]
(44)
product_(n=1)^(infty)[1+(z/n)^(2N)]=1/(pi^2z^2)[(sinh(piz))/(piz)]^(mod(N,2))×product_(k=1)^(|_N/2_|)cosh^2[pizsin(((2k-1)pi)/(2N))]-cos^2[pizcos(((2k-1)pi)/(2N))],
(45)

其中 |_x_| 是 向下取整函式, [x] 是 向上取整函式, 且 mod(a,m) 是 a (mod m) 的模 (Kahovec).

以下形式的無窮乘積

product_(k=1)^(infty)(1-1/(n^k))=(n^(-1))_infty
(46)
=n^(1/24)[1/2theta_1^'(0,n^(-1/2))]^(1/3)
(47)

當 n>1 時收斂，其中 (q)_infty 是一個 q-Pochhammer 符號，而 theta_n(z,q) 是一個 Jacobi theta 函式。這裡，n=2 的情況正好是在數字樹搜尋分析中遇到的常數 Q。

其他乘積包括

product_(k=1)^(infty)(1+2/k)^((-1)^(k+1)k)=pi/(2e)
(48)
=0.57786367...
(49)
product_(k=0)^(infty)(1+e^(-(2k+1)pi))=2^(1/4)e^(-pi/24)
(50)
product_(k=3)^(infty)(1-(pi^2)/(2k^2))sec(pi/k)=0.86885742...
(51)

(OEIS A086056 和 A247559; Prudnikov et al. 1986, p. 757)。請注意，Prudnikov et al. (1986, p. 757) 也錯誤地給出了乘積

product_(k=1)^infty(1-e^(-2pik/sqrt(3)))=(e^(-2pi/sqrt(3)))_infty,
(52)

其中 (q)_infty 是一個 q-Pochhammer 符號，為 3^(1/4)e^(-pi/(6sqrt(3)))，這與正確結果相差 1.8×10^(-5)。

以下類似的乘積型別也可以進行解析計算 (J. Zúñiga, 私人通訊., 11 月 9 日, 2004年)，其中 theta_n(z,q) 仍然是一個 Jacobi theta 函式,

product_(k=1)^(infty)(1+1/(n^k))=n^(1/24)theta_4^(-1/2)(0,n^(-1))[1/2theta_1^'(0,n^(-1))]^(1/6)
(53)
product_(k=1)^(infty)((1-n^(-k))/(1+n^(-k)))=product_(k=1)^(infty)tanh(1/2klnn)
(54)
=theta_4(0,n^(-1))
(55)
product_(k=1)^(infty)((1-n^(-2k))/(1+n^(-2k)))^2=product_(k=1)^(infty)tanh^2(klnn)
(56)
=(theta_1^'(0,n^(-1)))/(theta_2(0,n^(-1)))
(57)
product_(k=1)^(infty)((1-n^(-2k+1))/(1+n^(-2k+1)))^2=product_(k=1)^(infty)tanh^2[(k-1/2)lnn]
(58)
=(theta_4(0,n^(-1)))/(theta_3(0,n^(-1)))
(59)
product_(k=1)^(infty)(1-1/(n^(2k-1)))=n^(-1/24)theta_4^(1/2)(0,n^(-1))[2/(theta_1^'(0,n^(-1)))]^(1/6)
(60)
product_(k=1)^(infty)(1+1/(n^(2k-1)))=n^(-1/24)theta_3^(1/2)(0,n^(-1))[2/(theta_1^'(0,n^(-1)))]^(1/6)
(61)
product_(k=1)^(infty)[1+(-1)^(k-1)b/(k+a)]=2^b_2F_1(a+b,b;a+1;-1)
(62)
=(sqrt(pi)Gamma(a+1))/(2^aGamma(1/2(2+b-a))Gamma(1/2(1+b+a))).
(63)

其中第一個可以用來以閉合形式表示斐波那契階乘常數。

一類從 Barnes G-函式 匯出的無窮乘積由下式給出

product_(n=1)^infty(1+z/n)^ne^(-z+z^2/(2n))=(G(z+1))/((2pi)^(z/2))e^([z(z+1)+gammaz^2]/2),
(64)

其中 gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數。對於 z=1, 2, 3 和 4，顯式乘積由下式給出

product_(n=1)^(infty)(1+1/n)^ne^(1/(2n)-1)=(e^(1+gamma/2))/(sqrt(2pi))
(65)
product_(n=1)^(infty)(1+2/n)^ne^(4/(2n)-2)=(e^(3+2gamma))/(2pi)
(66)
product_(n=1)^(infty)(1+3/n)^ne^(9/(2n)-3)=(e^(6+9gamma/2))/(sqrt(2)pi^(3/2))
(67)
product_(n=1)^(infty)(1+4/n)^ne^(16/(2n)-4)=(3e^(10+8gamma))/(pi^2).
(68)

有趣的恆等式

xproduct_(n=1)^infty((1-x^(2n))^8)/((1-x^(2n-1))^8)=sum_(n=1)^infty2^(3b(n))sigma_3(Od(n))x^n
(69)

(Ewell 1995, 2000), 其中 b(n) 是 2 的精確冪的指數，它整除 n, Od(n)=n/2^(b(n)) 是 n 的奇數部分, sigma_k(n) 是 n 的 除數函式，以及

product_(n=1)^(infty)(1+x^(2n-1))^8=product_(n=1)^(infty)(1-x^(2n-1))^8+16xproduct_(n=1)^(infty)(1+x^(2n))^8
(70)
=1+8x+28x^2+64x^3+134x^4+288x^5+...
(71)

(OEIS A101127; Jacobi 1829; Ford et al. 1994; Ewell 1998, 2000), 後者在弦理論物理文獻中被稱為 "aequatio identica satis abstrusa"，與 tau 函式 有關。

一個涉及 tanx 的意想不到的無窮乘積由下式給出

|product_(k=0)^infty[tan(2^kx)]^(1/(2^k))|=4sin^2x
(72)

(Dobinski 1876, Agnew 和 Walker 1947).

Gosper 首先注意到的一個奇特的恆等式由下式給出

product_(n=1)^(infty)1/e(1/(3n)+1)^(3n+1/2)=sqrt((Gamma(1/3))/(2pi))(3^(13/24)exp[1+(2pi^2-3psi_1(1/3))/(12pisqrt(3))])/(A^4)
(73)
=1.012378552722912...
(74)

(OEIS A100072), 其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式, psi_1(z) 是 三伽瑪函式, 且 A 是 Glaisher-Kinkelin 常數。

另請參閱

Artin 常數, Barnes G-函式, 餘弦, d-模擬, Dedekind Eta 函式, Dirichlet Eta 函式, Dobiński's 公式, Euler 恆等式, 尤拉-馬歇羅尼常數, Euler 乘積, 斐波那契階乘常數, 伽瑪函式, Hadamard 乘積, Jacobi 三重乘積, Knar's 公式, 梅林公式, Mertens 定理, 五邊形數定理, 多邊形外切, 多邊形內接, 冪塔, 素數乘積, Q-函式, q-級數, Riemann Zeta 函式, Sinc 函式, 正弦, Stephens' 常數, Wallis 公式

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 75, 1972.Agnew, R. P. and Walker, R. J. "A Trigonometric Infinite Product." Amer. Math. Monthly 54, 206-211, 1947.Arfken, G. "Infinite Products." §5.11 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 346-351, 1985.Blatner, D. The Joy of Pi. New York: Walker, p. 119, 1997.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. "Two Products." §1.2 in Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 4-7, 2004.Borwein, J. M. and Corless, R. M. "Emerging Tools for Experimental Mathematics." Amer. Math. Monthly 106, 899-909, 1999.Dobinski, G. "Product einer unendlichen Factorenreihe." Archiv Math. u. Phys. 59, 98-100, 1876.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, p. 6, 1981.Ewell, J. A. "Arithmetical Consequences of a Sextuple Product Identity." Rocky Mtn. J. Math. 25, 1287-1293, 1995.Ewell, J. A. "A Note on a Jacobian Identity." Proc. Amer. Math. Soc. 126, 421-423, 1998.Ewell, J. A. "New Representations of Ramanujan's Tau Function." Proc. Amer. Math. Soc. 128, 723-726, 2000.Finch, S. R. "Kepler-Bouwkamp Constant." §6.3 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 428-429, 2003.Ford, D.; McKay, J.; and Norton, S. P. "More on Replicable Functions." Commun. Alg. 22, 5175-5193, 1994.Hansen, E. R. A Table of Series and Products. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1975.Jacobi, C. G. J. "E formulis (7.),(8.) sequitur aequatio identica satis abstrusa: (14.) [(1-q)(1-q^3)(1-q^5)..]^8+16q[(1+q^2)(1+q^4)(1+q^6)..]^8=[(1+q)(1+q^3)(1+q^5)..]^8." Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. Königsberg, Germany: Regiomonti, Sumtibus fratrum Borntraeger, 1829. Reprinted in Gesammelte Werke, Band. 1. Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 147, 1969.Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "Infinite Products." §1.14 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 52-53, 1988.Krantz, S. G. "The Concept of an Infinite Product." §8.1.6 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 104-105, 1999.Muñoz García, E. and Pérez Marco, R. "The Product Over All Primes is 4pi^2." Preprint IHES/M/03/34. May 2003. http://inc.web.ihes.fr/prepub/PREPRINTS/M03/Resu/resu-M03-34.html.Muñoz García, E. and Pérez Marco, R. "The Product Over All Primes is 4pi^2." Commun. Math. Phys. 277, 69-81, 2008.Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. "Infinite Products." §6.2 in Integrals and Series, Vol. 1: Elementary Functions. New York: Gordon & Breach, pp. 753-757, 1986.Ritt, J. F. "Representation of Analytic Functions as Infinite Products." Math. Z. 32, 1-3, 1930.Sloane, N. J. A. Sequences A048651, A086056, A100072, A100220, A100221, A100222, A101127, and A247559 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Whittaker, E. T. and Watson, G. N. §7.5-7.6 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 上被引用

無窮乘積

請引用為

Weisstein, Eric W. "無窮乘積。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/InfiniteProduct.html

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