梅爾滕斯定理

考慮尤拉乘積

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其中 是 黎曼 zeta 函式， 是第 個 素數。，但取有限乘積直到 ，預乘以因子 ，並令 得到

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其中 是 尤拉-馬歇羅尼常數 (Havil 2003, p. 173)。這個令人驚歎的結果被稱為梅爾滕斯定理。

至少對於 ，有限乘積序列嚴格地從上方接近 (Rosser 和 Schoenfeld 1962)。然而，極有可能對於無窮多個 值，有限乘積小於其極限值，這通常是由於 臨界線 上 的零點存在而導致的任何此類不等式的情況。例如，Littlewood 著名的證明表明不等式 的方向會無限次反轉，其中 是 素數計數函式， 是 對數積分。雖然 Rosser 和 Schoenfeld (1962) 建議“也許可以擴充套件 [這個] 結果以表明 [梅爾滕斯不等式] 對於大的 失敗；我們尚未對此事進行調查”，但對於梅爾滕斯定理中的項，不等式反轉的完整證明似乎並未出現在已發表的文獻中。

一個密切相關的結果可以透過注意到這一點獲得

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考慮將公式 (3) 中的 號更改為 號，並將 從分母移至分子，然後得到的結果

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對於與梅爾滕斯定理相同的範圍，有限乘積序列從下方嚴格地接近其極限值，因為這個來自下方的這個不等式是梅爾滕斯定理來自上方的不等式的推論。

Edwards (2001, pp. 5-6) 評論道：“在黎曼 [1859] 年的論文發表後的頭 30 年裡，[素數漸近學] 領域幾乎沒有進展”，並在腳註中補充道：“梅爾滕斯 1874 年的定理是這一說法的一個主要例外……”（著名的 素數定理 直到 1896 年才被證明。）