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對數積分

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LogIntegral

對數積分（採用“美式”約定；Abramowitz 和 Stegun 1972；Edwards 2001，第 26 頁），對於實數 x 定義為

li(x)={int_0^x(dt)/(lnt) for 0<x<1; PVint_0^x(dt)/(lnt) for x>1
(1)
={int_0^x(dt)/(lnt) for 0<x<1; lim_(epsilon->0^+)[int_0^(1-epsilon)(dt)/(lnt)+int_(1+epsilon)^x(dt)/(lnt)] for x>1
(2)

這裡，PV 表示積分的柯西主值，並且該函式在 奇點 x=1 處有一個奇點。

以這種方式定義的對數積分在 Wolfram 語言中實現為LogIntegral[x]。

存在一個唯一的正數

mu=1.4513692348...
(3)

（OEIS A070769；Derbyshire 2004，第 114 頁）被稱為 Soldner 常數，對於該常數 li(x)=0，因此對數積分也可以寫成

li(x)=int_mu^x(dt)/(lnt)
(4)

對於 x>mu。

特殊值包括

li(0)=0
(5)
li(1)=-infty
(6)
li(mu)=0
(7)
li(2)=1.0451637801174...,
(8)

（OEIS A069284），其中 mu 是 Soldner 常數（Edwards 2001，第 34 頁）。

LogIntegralReImAbs
最小值 最大值
實部
虛部 Powered by webMathematica

該定義也可以擴充套件到複平面，如上圖所示。

它的導數是

(dli(z))/(dz)=1/(lnz),
(9)

它的不定積分是

intli(z)dz=zli(z)-Ei(2lnz),
(10)

其中 Ei(z) 是指數積分。它也有定積分

int_0^1li(z)dz=-ln2,
(11)

其中 ln2=0.69314... （OEIS A002162）是 自然對數 2。

對數積分服從

li(z)=Ei(lnz),
(12)

其中 Ei(z) 是指數積分，以及恆等式

li(z^(1/m))=gamma+lnlnz-lnm+sum_(n=1)^infty((lnz)^n)/(n·n!m^n)
(13)

（Bromwich 和 MacRobert 1991，第 334 頁；Hardy 1999，第 25 頁）。

Nielsen 證明並且 Ramanujan 獨立發現

li(x)=gamma+lnlnx+sum_(k=1)^infty((lnx)^k)/(k!k),
(14)

其中 gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數（Nielsen 1965，第 3 頁和第 11 頁；Berndt 1994；Finch 2003；Havil 2003，第 106 頁）。Ramanujan 提出的另一個收斂更快的公式是

li(x)=gamma+lnlnx+sqrt(x)sum_(n=1)^infty((-1)^(n-1)(lnx)^n)/(n!2^(n-1))sum_(k=0)^(|_(n-1)/2_|)1/(2k+1),
(15)

其中 |_x_| 是向下取整函式（Berndt 1994）。

此函式在素數定理中出現的形式（例如 Landau 以及 Havil 2003，第 105 頁和第 175 頁使用）有時被稱為“歐式”定義（Derbyshire 2004，第 373 頁），定義為 Li(2)=0

Li(x)=int_2^x(du)/(lnu)
(16)
=li(x)-li(2).
(17)

請注意，符號 Li_n(z) （容易混淆地）也用於多對數函式，以及 li(x) 的“美式”定義（Edwards 2001，第 26 頁）。

另請參閱

多對數函式， 素數星座， 素數計數函式， 素數定理， Skewes 數

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/LogIntegral/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 879, 1972.Berndt, B. C. Ramanujan 的筆記本，第四部分。 New York: Springer-Verlag, pp. 126-131, 1994.Bromwich, T. J. I'A. and MacRobert, T. M. 無窮級數理論導論，第 3 版。 New York: Chelsea, p. 334, 1991.de Morgan, A. 微分和積分 calculus，包含微分、積分、展開、級數、微分方程、差分、求和、差分方程、變分法、定積分——應用於代數、平面幾何、立體幾何和力學。 London: Robert Baldwin, p. 662, 1839.Derbyshire, J. 素數迷戀：Bernhard Riemann 和數學中最偉大的未解問題。 New York: Penguin, pp. 114-117 and 373, 2004.Edwards, H. M. Riemann Zeta 函式。 New York: Dover, 2001.Finch, S. R. "Euler-Gompertz Constant." §6.2 in 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 423-428, 2003.Hardy, G. H. Ramanujan：關於他的生活和工作啟發的十二次講座，第 3 版。 New York: Chelsea, 1999.Havil, J. Gamma：探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 105-106 and 175-176, 2003.Koosis, P. 對數積分 I。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1998.Nielsen, N. "Theorie des Integrallograrithmus und Verwandter Transzendenten." Part II in Die Gammafunktion。 New York: Chelsea, 1965.Vardi, I. Mathematica 中的計算娛樂。 Reading, MA: Addison-Wesley, p. 151, 1991.Hardy, G. H. Ramanujan：關於他的生活和工作啟發的十二次講座，第 3 版。 New York: Chelsea, p. 45, 1999.Le Lionnais, F. 卓越的數。 Paris: Hermann, p. 39, 1983.Sloane, N. J. A. Sequences A0021624074, A069284 and A070769 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Soldner. 論文集 2, 333, 1812.

在 中被引用

對數積分

請引用為

Weisstein, Eric W. "對數積分。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/LogarithmicIntegral.html

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