主題
Search

不定積分

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram Notebook

形式為如下的積分

intf(z)dz,
(1)

即，沒有上限和下限的積分，也稱為原函式。微積分第一基本定理允許使用不定積分計算定積分。 特別是，該定理指出，如果 F 是複函式 f(z) 的不定積分，則

int_a^bf(z)dz=F(b)-F(a).
(2)

這個結果，雖然在初等微積分課程中很早就教授了，但實際上是一個非常深刻的結果，它連線了純代數的不定積分和純分析（或幾何）的定積分。不定積分在 Wolfram 語言 中實現為Integrate[f, z].

由於常數的導數為零，任何常數都可以加到原函式上，並且仍然對應於相同的積分。 另一種表述方式是，原函式是導數的非唯一逆函式。 因此，不定積分通常寫成如下形式

intf(z)dz=F(z)+C,
(3)

其中 C 是任意常數，稱為積分常數。 Wolfram 語言 返回的不定積分不包含顯式的積分常數。 這意味著，根據被積函式的形式，可以獲得相差一個常數（或更一般地，分段常數函式）的原函式 F_1 和 F_2。 這也意味著Integrate[f+g, z] 可能與Integrate[f, z] +Integrate[g, z] 相差一個任意的（分段）常數。

請注意，代數定義的不定積分處理的是複數。 然而，許多初等微積分教科書編寫的公式例如

int(dx)/x=ln|x|
(4)

（其中符號 x 用於表示 x 假設為實數）而不是復變數版本

int(dz)/z=lnz,
(5)

其中 z 通常是複數（但也適用於實數 z）。 定義一種“僅實數”的不定積分可能是為了讓學生可以使用黎曼積分應用微積分第一基本定理並獲得正確的答案，同時完全避免使用複分析、多值函式等。（但應該注意的是，微積分第一基本定理僅在被積函式在積分割槽間上連續時才適用，因此必須附加規定 int_a^bdx/x=[ln|x|]_b^a 只能在區間 [a,b] 不包含 0 的情況下應用。）

然而，這項工作（和 Wolfram 語言）避開了“僅實數”的定義，因為包含絕對值意味著不定積分對於通用的復變數 z 不再有效（|z| 的存在意味著 柯西-黎曼方程 不再成立），並且也違反了不定積分的純代數定義。 由於物理問題涉及定積分，因此堅持使用通常的複數/代數不定積分定義更為明智。 換句話說，雖然 黎曼積分

int_(-2)^(-1)(dx)/x=[ln|x|]_(-2)^(-1)=0-ln2=-ln2
(6)

給出正確的答案（並且在此過程中避免了複數），復積分也是如此

int_(-2)^(-1)(dz)/z=[lnz]_(-2)^(-1)=(ipi)-(ipi+ln2)=-ln2,
(7)

而後者保留了通用性的優點，同時讓學生為強大的複分析工具做好準備，他們應該瞭解複分析，並且無論如何可能很快就會學到。

劉維爾證明了積分

inte^(-x^2)dx, int(e^(-x))/xdx, int(sinx)/xdx, int(cosx)/xdx, int(dx)/(lnx)
(8)

不能用有限數量的初等函式表示。 這些產生了函式

erf(x)=2/(sqrt(pi))inte^(-x^2)dx
(9)
Ei(x)=int(e^x)/xdx
(10)
Si(x)=int(sinx)/xdx
(11)
Ci(x)=int(cosx)/xdx
(12)
li(x)=int(dx)/(lnx)
(13)

（Havil 2003，第 105 頁），分別稱為 誤差函式 (erf)、指數積分、正弦積分、餘弦積分 和 對數積分。 任何 R(x)e^x 形式的函式的積分，其中 R(x) 是有理函式，都可以簡化為初等積分和函式 Ei(x) (Havil 2003, 第 106 頁)。

其他不可約積分包括

intx^xdx, intx^(-x)dx, intsqrt(sinx)dx, intsqrt(cosx)dx, intsqrt(lnx)dx, inte^(e^x)dx, intlnlnxdx,
(14)

（參見 Marchisotto 和 Zakeri 1994），其中最後幾個可以寫成閉合形式為

intsqrt(sinx)dx=-2E(1/4(pi-2x),sqrt(2))
(15)
intsqrt(cosx)dx=2E(1/2x,sqrt(2))
(16)
intsqrt(lnx)dx=-1/2sqrt(pi)erfi(sqrt(lnx))+xsqrt(lnx)
(17)
inte^(e^x)dx=Ei(e^x)
(18)
intln(lnx)dx=xlnlnx-li(x),
(19)

其中 E(x,k) 是第二類橢圓積分，erfi(x) 是 虛誤差函式，Ei(x) 是 指數積分。

切比雪夫證明，如果 U、V 和 W 是有理數，則

intx^U(A+Bx^V)^Wdx
(20)

可以用初等函式積分，當且僅當 (U+1)/V、W 或 W+(U+1)/V 是整數時（Ritt 1948，Shanks 1993）。

對於一般輸入，積分是符號數學軟體的一個棘手問題。 事實上，許多簡單的不定積分，例如

int[d/(dz)Li_2(zlnz)]dz =-int[((lnz+1)ln(1-zlnz))/(zlnz)]dz int[d/(dz)(1/2sqrt(pi)erf(az)erf(bz))]dz =int[be^(-b^2z^2)erf(az)+ae^(-a^2z^2)erf(bz)]dz,
(21)

其中 Li_2(z) 是雙對數函式，即使是最先進的軟體系統也無法完成，包括 Wolfram 語言。

下面總結了一些冪函式的不定積分

intz^rdz=(z^(r+1))/(r+1)+C
(22)
int(dz)/z=lnz+C
(23)
inta^zdz=(a^z)/(lna)+C,
(24)

三角函式

intsinzdz=-cosz+C
(25)
intcoszdz=sinz+C
(26)
inttanzdz=ln(secz)+C
(27)
intcsczdz=ln(cscz-cotz)+C
(28)
=ln[tan(1/2z)]+C
(29)
=1/2ln((1-cosz)/(1+cosz))+C
(30)
intseczdz=ln(secz+tanz)+C
(31)
=ln[(cos(1/2z)+sin(1/2z))/(cos(1/2z)-sin(1/2z))]
(32)
=gd^(-1)(z)+C
(33)
intcotzdz=ln(sinz)+C,
(34)

三角函式的組合

intsin^2zdz=1/2z-1/4sin(2z)+C
(35)
intcos^2zdz=1/2z+1/4sin(2z)+C
(36)
inttan^2zdz=tanz-z+C
(37)
intsec^2zdz=tanz+C
(38)
intcsc^2zdz=-cotz+C
(39)
intcot^2zdz=-cotz-z+C
(40)
intsecztanzdz=secz+C,
(41)

反三角函式

intcos^(-1)zdz=zcos^(-1)z-sqrt(1-z^2)+C
(42)
intsin^(-1)zdz=zsin^(-1)z+sqrt(1-z^2)+C
(43)
inttan^(-1)zdz=ztan^(-1)z-1/2ln(1+z^2)+C,
(44)

二階有理函式和平方根

int(dz)/(sqrt(a^2-z^2))=sin^(-1)(z/a)+C
(45)
int(dz)/(sqrt(a^2-z^2))=-cos^(-1)(z/a)+C
(46)
int(dz)/(a^2+z^2)=1/atan^(-1)(z/a)+C
(47)
int(dz)/(a^2+z^2)=-1/acot^(-1)(z/a)+C
(48)
int(dz)/(zsqrt(z^2-a^2))=1/asec^(-1)(z/a)+C
(49)
int(dz)/(zsqrt(z^2-a^2))=-1/acsc^(-1)(z/a)+C,
(50)

雅可比橢圓函式

intsn(u,k)du=k^(-1)ln[dn(u,k)-kcn(u,k)]+C
(51)
intcn(u,k)du=k^(-1)sin^(-1)[ksn(u,k)]+C
(52)
intdn(u,k)du=sin^(-1)sn(u,k)+C
(53)
=am(u,k)+C,
(54)

以及雅可比橢圓函式的平方

intsn^2(u,k)du=(u-E(u,k))/(k^2)+C.
(55)

這裡，sinz 是正弦函式； cosz 是餘弦函式； tanz 是正切函式； cscz 是餘割函式； secz 是正割函式； cotz 是餘切函式； cos^(-1)z 是反餘弦函式； sin^(-1)z 是反正弦函式； tan^(-1) 是反正切函式； snu、cnu 和 dnu 是雅可比橢圓函式； am(u,k) 是雅可比幅度函式； E(u) 是第二類完全橢圓積分； gd(z) 是古德曼函式。 a 假設為實數且為正數，k 是模數。

為了推導 (◇)，令 u=cosz，所以 du=-sinzdz 並且

inttanzdz=int(sinz)/(cosz)dz
(56)
=-int(du)/u
(57)
=-lnu+C
(58)
=-ln(cosz)+C
(59)
=ln(cosz)^(-1)+C
(60)
=ln(secz)+C.
(61)

為了推導 (◇)，令 u=cscz-cotz，所以 du=(csc^2z-csczcotz)dz 並且

intcsczdz=intcscz(cscz-cotz)/(cscz-cotz)dz
(62)
=int(csc^2z-cotzcscz)/(cscz-cotz)dz
(63)
=int(du)/u
(64)
=lnu+C
(65)
=ln(cscz-cotz)+C.
(66)

為了推導 (◇)，令

u=secz+tanz,
(67)

所以

du=(secztanz+sec^2z)dz
(68)

並且

intseczdz=intsecz(secz+tanz)/(secz+tanz)dz
(69)
=int(sec^2z+secztanz)/(secz+tanz)dz
(70)
=int(du)/u=lnu+C
(71)
=ln(secz+tanz)+C.
(72)

為了推導 (◇)，令 u=sinz，所以 du=coszdz 並且

intcotzdz=int(cosz)/(sinz)dz
(73)
=int(du)/u
(74)
=lnu+C
(75)
=ln(sinz)+C.
(76)

另請參閱

微積分, 積分常數, 路徑積分, 定積分, 微積分基本定理, 積分, 黎曼積分 在 課堂中探索此主題

使用 探索

參考資料

Boros, G. and Moll, V. Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2004.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Marchisotto, E. A. and Zakeri, G.-A. "An Invitation to Integration in Finite Terms." College Math. J. 25, 295-308, 1994.Ritt, J. F. Integration in Finite Terms: Liouville's Theory of Elementary Methods. New York: Columbia University Press, 1948.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, 1993.

在 上被引用

不定積分

引用為

Weisstein, Eric W. "不定積分。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/IndefiniteIntegral.html

主題分類