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反三角函式

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反三角函式是多值函式 tan^(-1)z（Zwillinger 1995, p. 465），也表示為 arctanz（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 79; Harris 和 Stocker 1998, p. 311; Jeffrey 2000, p. 124）或 arctgz（Spanier 和 Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 208; Jeffrey 2000, p. 127），即 正切的反函式。變體 Arctanz（例如，Bronshtein 和 Semendyayev, 1997, p. 70）和 Tan^(-1)z 有時用於指代反餘切的顯式主值，儘管這種區分並不總是被做出（例如，Zwillinger 1995, p. 466）。

ArcTan

反三角函式 tan^(-1)x 在實軸上方的圖中繪製。

更糟糕的是，符號 arctanz 有時用於主值，而 Arctanz 用於多值函式（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 80）。請注意，在符號 tan^(-1)z（在北美和全球袖珍計算器中常用）中，tanz 表示正切，而 -1 表示反函式，不是 乘法逆元。

反三角函式的主值實現為ArcTan[z] 在 Wolfram 語言中。在 GNU C 庫中，它實現為atan(double x)。

InverseTangentBranchCut

反三角函式是一個多值函式，因此在複平面中需要一個分支切割，Wolfram 語言的約定將其放置在 (-iinfty,-i] 和 [i,iinfty)。這遵循 tan^(-1)z 作為

tan^(-1)z=1/2i[ln(1-iz)-ln(1+iz)].
(1)

在 Wolfram 語言（和這項工作中），此分支切割定義確定了實數 x 的 tan^(-1)x 的範圍為 (-pi/2,pi/2)。但是，必須小心，因為其他分支切割定義可能會給出不同的範圍（最常見的是，(0,pi)）。

ArcTanReImAbs
最小值 最大值
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反三角函式 tan^(-1)z 在複平面上方的圖中繪製。

tan^(-1)z 具有特殊值

tan^(-1)(-infty)=-1/2pi
(2)
tan^(-1)(-i)=-iinfty
(3)
tan^(-1)0=0
(4)
tan^(-1)i=iinfty
(5)
tan^(-1)infty=1/2pi.
(6)

導數 tan^(-1)z 是

d/(dz)tan^(-1)z=1/(1+z^2)
(7)

和不定積分是

inttan^(-1)zdz=ztan^(-1)z-1/2ln(1+z^2)+C.
(8)
InverseTangentYXReIm
InverseTangentYXContours

複數 z=x+iy 的複數輻角通常寫為

theta=tan^(-1)(y/x),
(9)

其中 theta，有時也表示為 phi，對應於從正實軸的逆時針角度，即 theta 的值，使得 x=costheta 和 y=sintheta。上面說明了實數值 x 和 y 的 tan^(-1)(y/x) 的圖。

InverseTangentReImAbs
最小值 最大值
實部
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一種特殊的反三角函式，它考慮了 z 所在的象限，並由FORTRAN命令返回ATAN2(y, x)，GNU C 庫命令atan2(double y, double x)，以及 Wolfram 語言命令ArcTan[x, y]，並且通常限制在 -pi<theta<=pi 範圍內。在退化情況 x=0 時，

phi={-1/2pi if y<0; undefined if y=0; 1/2pi if y>0.
(10)

通常的 tan^(-1)z 具有以下麥克勞林級數：

tan^(-1)z=sum_(n=0)^(infty)((-1)^nz^(2n+1))/(2n+1)
(11)
=z-1/3z^3+1/5z^5-1/7z^7+...
(12)

（OEIS A033999 和 A005408）。尤拉給出的更快速收斂的形式為

tan^(-1)x=sum_(n=0)^infty(2^(2n)(n!)^2)/((2n+1)!)(x^(2n+1))/((1+x^2)^(n+1))
(13)

對於實數 x （Castellanos 1988）。這與尤拉給出的公式有關：

tan^(-1)x=y/x(1+2/3y+(2·4)/(3·5)y^2+(2·4·6)/(3·5·7)y^3+...),
(14)

其中

y=(x^2)/(1+x^2).
(15)

反三角函式公式與許多有趣的 pi 近似值有關

tan^(-1)(1+x)=pi/4+isum_(n=1)^(infty)((-1-i)^n-(i-1)^n)/(2^(n+1)n)x^n
(16)
=1/4pi+1/2x-1/4x^2+1/(12)x^3-1/(40)x^5+1/(48)x^6-1/(112)x^7+...
(17)

（OEIS A075553 和 A075554）。

反三角函式滿足

tan^(-1)z=cot^(-1)(1/z)
(18)

對於 z!=0，

tan^(-1)z=-tan^(-1)(-z)
(19)

對於所有複數 z，

tan^(-1)x=1/2pi-cos^(-1)(x/(sqrt(x^2+1)))
(20)
=sin^(-1)(x/(sqrt(x^2+1)))
(21)
=csc^(-1)((sqrt(x^2+1))/x)
(22)

對於所有實數 x，其中最後一個方程的等式被理解為在極限 x->0 下成立，以及

tan^(-1)x={-1/2pi-tan^(-1)(1/x) for x<0; 1/2pi-tan^(-1)(1/x) for x>0
(23)
={-1/2pi+cot^(-1)(-x) for x<0; 1/2pi+cot^(-1)(-x) for x>0
(24)
={-1/2pi-cot^(-1)x for x<0; 1/2pi-cot^(-1)x for x>0
(25)
={-cos^(-1)(1/(sqrt(x^2+1))) for x<0; cos^(-1)(1/(sqrt(x^2+1))) for x>0
(26)
={-sec^(-1)(sqrt(x^2+1)) for x<0; sec^(-1)(sqrt(x^2+1)) for x>0.
(27)

用超幾何函式表示，

tan^(-1)z=z_2F_1(1,1/2;3/2;-z^2)
(28)

對於複數 z，以及

tan^(-1)x=x/(1+x^2)_2F_1(1,1;3/2;(x^2)/(1+x^2))
(29)

對於實數 x （Castellanos 1988）。

Castellanos（1986, 1988）還給出了一些關於斐波那契數的奇特公式，

tan^(-1)x=sum_(n=0)^(infty)((-1)^nF_(2n+1)t^(2n+1))/(5^n(2n+1))
(30)
=5sum_(n=0)^(infty)((-1)^nF_(2n+1)^2)/((2n+1)(u+sqrt(u^2+1))^(2n+1))
(31)
=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n5^(n+2)F_(2n+1)^3)/((2n+1)(v+sqrt(v^2+5))^(2n+1)),
(32)

其中

t=(2x)/(1+sqrt(1+(4x^2)/5))
(33)
u=5/(4x)(1+sqrt(1+(24)/(25)x^2)),
(34)

和 v 是

8xv^4-100v^3-450xv^2+875v+625x=0.
(35)

的最大正根。反三角函式滿足加法公式

tan^(-1)x+tan^(-1)y=tan^(-1)((x+y)/(1-xy))
(36)

對於 -1<x,y<1，以及更復雜的公式

tan^(-1)(1/a)=2tan^(-1)(1/(2a))-tan^(-1)(1/(4a^3+3a))
(37)

對所有複數 a 有效。尤拉已知的另一個恆等式是

tan^(-1)(1/(a-b))=tan^(-1)(1/a)+tan^(-1)(b/(a^2-ab+1))
(38)

對於 (a>b ^ a>0) 或 (a<b ^ a<0)。Lehmer (1938b; Bromwich 1991, Castellanos 1988) 歸因於 Charles Dodgson（劉易斯·卡羅爾）的另一個有趣的反三角函式恆等式是

tan^(-1)(p+r)+tan^(-1)(p+q)-tan^(-1)p=1/2pi,
(39)

其中

1+p^2=qr
(40)

和 p,q,r>0。

反三角函式具有連分數表示

tan^(-1)x=x/(1+(x^2)/(3+(4x^2)/(5+(9x^2)/(7+(16x^2)/(9+...)))))
(41)

（Lambert 1770; Lagrange 1776; Wall 1948, p. 343; Olds 1963, p. 138）和

tan^(-1)x=x/(1+(x^2)/(3-x^2+(9x^2)/(5-3x^2+(25x^2)/(7-5x^2+...))))
(42)

由於尤拉，有時被稱為尤拉連分數（Borwein et al. 2004, p. 30）。

要數值找到 tan^(-1)x，可以使用以下類似算術-幾何平均值的演算法。設

a_0=(1+x^2)^(-1/2)
(43)
b_0=1.
(44)

然後計算

a_(i+1)=1/2(a_i+b_i)
(45)
b_(i+1)=sqrt(a_(i+1)b_i),
(46)

反三角函式由下式給出

tan^(-1)x=lim_(n->infty)x/(sqrt(1+x^2)a_n)
(47)

（Acton 1990）。

積分 n 的反三角函式 tan^(-1)n 如果可以表示為形式的有限和，則稱為可約的

tan^(-1)n=sum_(k=1)f_ktan^(-1)n_k,
(48)

其中 f_k 是正或負整數，n_i 是整數 <n。tan^(-1)m 是可約的 當且僅當 1+m^2 的所有素因子都出現在 1+n^2 的素因子中，對於 n=1, ..., m-1。第二個必要和充分條件是 1+m^2 的最大素數因子小於 2m。與第二個條件等價的說法是，每個格雷戈裡數 t_x=cot^(-1)x 可以唯一地表示為 t_ms 的和，其中 m 是施特默數（Conway 和 Guy 1996）。要找到這種分解，請寫出

arg(1+in)=argproduct_(k=1)(1+n_ki)^(f_k),
(49)

因此比率

r=(product_(k=1)(1+n_ki)^(f_k))/(1+in)
(50)

是一個有理數。方程 (50) 也可以寫成

r^2(1+n^2)=product_(k=1)(1+n_k^2)^(f_k).
(51)

將 (◇) 寫成形式

tan^(-1)n=sum_(k=1)f_ktan^(-1)n_k+ftan^(-1)1
(52)

允許直接轉換為相應的反餘切公式

cot^(-1)n=sum_(k=1)f_kcot^(-1)n_k+ccot^(-1)1,
(53)

其中

c=2-f-2sum_(k=1)f_r.
(54)

Todd (1949) 給出了 tan^(-1)n 對於 n<=342 的分解表。Conway 和 Guy (1996) 給出了一個類似的關於施特默數的表。

Arndt 和 Gosper 給出了非凡的反三角函式恆等式

sin(sum_(k=1)^(2n+1)tan^(-1)a_k)=((-1)^n)/(2n+1)(sum_(k=1)^(2n+1)product_(j=1)^(2n+1)[a_j-tan((pi(j-k))/(2n+1))])/(sqrt(product_(j=1)^(2n+1)(a_j^2+1))).
(55)

有一組驚人的 BBP 型別公式 用於 tan^(-1)(4/5)

tan^(-1)(4/5)=1/(131072)sum_(k=0)^(infty)1/(1048576^k)[(262144)/(40k+2)-(163840)/(40k+5)-(65536)/(40k+6)+(16384)/(40k+10)-(4096)/(40k+14)-(5120)/(40k+15)+(1024)/(40k+18)-(256)/(40k+22)+(160)/(40k+25)+(64)/(40k+26)-(16)/(40k+30)+4/(40k+34)+5/(40k+35)-1/(40k+38)]
(56)
=1/(131072)sum_(k=0)^(infty)1/(1048576^k)[(393216)/(40k+4)+(163840)/(40k+5)-(131072)/(40k+6)-(163840)/(40k+8)+(24576)/(40k+12)-(8192)/(40k+14)-(15360)/(40k+15)-(10240)/(40k+16)-(1024)/(40k+20)-(512)/(40k+22)-(640)/(40k+24)-(160)/(40k+25)+(96)/(40k+28)-(32)/(40k+30)-(40)/(40k+32)+(15)/(40k+35)+6/(40k+36)-2/(40k+38)]
(57)
=1/(131072)sum_(k=0)^(infty)1/(1048576^k)[(262144)/(40k+1)-(262144)/(40k+3)-(65536)/(40k+5)-(327680)/(40k+6)+(65536)/(40k+7)-(163840)/(40k+8)+(16384)/(40k+9)-(40960)/(40k+10)-(16384)/(40k+11)-(4096)/(40k+13)-(20480)/(40k+14)-(16384)/(40k+15)-(10240)/(40k+16)+(1024)/(40k+17)-(1024)/(40k+19)-(2560)/(40k+20)-(256)/(40k+21)-(1280)/(40k+22)+(256)/(40k+23)-(640)/(40k+24)+(64)/(40k+25)-(64)/(40k+27)-(16)/(40k+29)-(40)/(40k+30)+(16)/(40k+31)-(40)/(40k+32)+4/(40k+33)+(16)/(40k+35)-1/(40k+37)-5/(40k+38)+1/(40k+39)]
(58)
=1/(262144)sum_(k=0)^(infty)1/(1048576^k)[(262144)/(40k+3)+(262144)/(40k+4)+(131072)/(40k+6)-(65536)/(40k+7)+(81920)/(40k+10)+(16384)/(40k+11)+(16384)/(40k+12)+(8192)/(40k+14)-(4096)/(40k+15)+(1024)/(40k+19)+(1024)/(40k+20)+(512)/(40k+22)-(256)/(40k+23)+(64)/(40k+27)+(64)/(40k+28)-(48)/(40k+30)-(16)/(40k+31)+4/(40k+35)+4/(40k+36)+2/(40k+38)-1/(40k+39)],
(59)

找到其中一個是由 Bailey et al. (2006, p. 225) 提出的問題。

另請參閱

尤拉類馬欽公式, 高斯類馬欽公式, 反餘切, 反三角函式, 馬欽公式, 類馬欽公式, 正切

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcTan/

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A.(編). "反圓函式." §4.4 在 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 紐約: Dover, pp. 79-83, 1972.Acton, F. S. "反正切." 在 有效的數值方法，更新和修訂版。 華盛頓特區: Math. Assoc. Amer., pp. 6-10, 1990.Apostol, T. M. 微積分，第 2 版，第 1 卷：單變數微積分，線性代數導論。 沃爾瑟姆, 馬薩諸塞州: Blaisdell, pp. 255-256, 1967.Arndt, J. "完全無用的公式." http://www.jjj.de/hfloat/hfloatpage.html#formulas.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; 和 Moll, V. H. 實驗數學行動。 韋爾斯利, 馬薩諸塞州: A K Peters, 2007.Beyer, W. H. CRC 標準數學表格，第 28 版。 博卡拉頓, 佛羅里達州: CRC Press, pp. 142-143 和 220, 1987.Borwein, J.; Bailey, D.; 和 Girgensohn, R. "尤拉的連分數." §1.8.2 在 數學實驗：發現的計算路徑。 韋爾斯利, 馬薩諸塞州: A K Peters, p. 30, 2004.Bronshtein, I. N. 和 Semendyayev, K. A. 數學手冊，第 3 版。 紐約: Springer-Verlag, p. 70, 1997.Bromwich, T. J. I. 和 MacRobert, T. M. 無限級數理論導論，第 3 版。 紐約: Chelsea, 1991.Castellanos, D. "具有斐波那契係數的快速收斂展開式." Fib. Quart. 24, 70-82, 1986.Castellanos, D. "無處不在的 Pi. 第一部分." Math. Mag. 61, 67-98, 1988.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. "施特默數." 數字之書。 紐約: Springer-Verlag, pp. 245-248, 1996.GNU C 庫. "數學：反三角函式." http://www.gnu.org/manual/glibc-2.2.3/html_chapter/libc_19.html#SEC389.Gosper, R. W. "Joerg Arndt 好心地轉發給我." math-fun@cs.arizona.edu 帖子, 1 月 14 日, 1997.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 積分、級數和乘積表，第 6 版。 聖地亞哥, 加利福尼亞州: Academic Press, 2000.Harris, J. W. 和 Stocker, H. 數學和計算科學手冊。 紐約: Springer-Verlag, p. 311, 1998.Hildebrand, J. D. "Arctan() 讚賞主頁!" http://www.opensky.ca/~jdhildeb/arctan/.Jeffrey, A. "反三角函式和雙曲函式." §2.7 在 數學公式和積分手冊，第 2 版。 奧蘭多, 佛羅里達州: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Lagrange, J.-L. "關於積分計算中連分數的使用." Nouv. mém. de l'académie royale des sciences et belles-lettres Berlin, 236-264, 1776. 重印於 Oeuvres, 第 4 卷, pp. 301-302.Lambert, J. L. 數學及其應用貢獻。 第 2 部分。柏林, 1770.Lehmer, D. H. "關於 pi 的反餘切關係." Amer. Math. Monthly 45, 657-664, 1938.Olds, C. D. 連分數。 紐約: Random House, 1963.Salamin, G. Beeler, M.; Gosper, R. W.; 和 Schroeppel, R. 中的第 137 項 HAKMEM. 劍橋, 馬薩諸塞州: MIT 人工智慧實驗室, 備忘錄 AIM-239, pp. 67-68, 1972 年 2 月. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/pi.html#item137.Sloane, N. J. A. 序列 A005408/M2400, A033999, A075553, 和 A075554 在 "整數序列線上百科全書" 中.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "反三角函式." 第 35 章 在 函式圖集。 華盛頓特區: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.Todd, J. "關於反正切關係的問題." Amer. Math. Monthly 56, 517-528, 1949.Wall, H. S. 連分數解析理論。 紐約: Chelsea, 1948.Zwillinger, D.(編). "反圓函式." §6.3 在 CRC 標準數學表格和公式。 博卡拉頓, 佛羅里達州: CRC Press, pp. 465-467, 1995.

在 上引用

反三角函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "反三角函式." 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/InverseTangent.html

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