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算術-幾何平均數

算術-幾何平均數 agm(a,b) 由以下迭代定義，從 a_0=a 和 b_0=b 開始，然後迭代

a_(n+1)=1/2(a_n+b_n)
(1)
b_(n+1)=sqrt(a_nb_n)
(2)

直到 a_n=b_n 達到所需的精度。

a_n 和 b_n 彼此收斂，因為

a_(n+1)-b_(n+1)=1/2(a_n+b_n)-sqrt(a_nb_n)
(3)
=(a_n-2sqrt(a_nb_n)+b_n)/2.
(4)

但是 sqrt(b_n)<sqrt(a_n)，所以

2b_n<2sqrt(a_nb_n).
(5)

現在，在每一側加上 a_n-b_n-2sqrt(a_nb_n)

a_n+b_n-2sqrt(a_nb_n)<a_n-b_n,
(6)

所以

a_(n+1)-b_(n+1)<1/2(a_n-b_n).
(7)
AGMReal
AGM

頂部圖顯示 agm(1,b) 對於 0<=b<=20 和 agm(a,b) 對於 0<=a,b<=200，而底部兩個圖顯示 agm(1,z) 對於複數值 z。

算術-幾何平均數在計算完全橢圓積分的值時非常有用，也可用於查詢反三角函式。

它在 Wolfram 語言中被實現為ArithmeticGeometricMean[a, b].

agm(a,b) 可以用第一類完全橢圓積分 K(k) 的閉合形式表示為 K(k)

agm(a,b)=((a+b)pi)/(4K((a-b)/(a+b))).
(8)
AGMReIm
AGMContours

算術-幾何平均數的定義也適用於複平面，如上文 agm(1,z) 所示。

算術-幾何平均數的勒讓德形式由下式給出

agm(1,x)=product_(n=0)^infty1/2(1+k_n),
(9)

其中 k_0=x 和

k_(n+1)=(2sqrt(k_n))/(1+k_n).
(10)

agm(a,b) 的特殊值總結在下表中。 特殊值

1/(agm(1,sqrt(2)))=0.83462684167407318628...
(11)

(OEIS A014549) 被稱為高斯常數。 它具有閉合形式

1/(agm(1,sqrt(2)))=2/piint_0^1(dt)/(sqrt(1-t^4))
(12)
=([Gamma(1/4)]^2)/(2pi^(3/2)sqrt(2))
(13)

其中上述積分是 lemniscate 函式，並且高斯知道算術-幾何平均數與該積分相等（Borwein 和 Bailey 2003，第 13-15 頁）。

agm(a,b)OEIS值
agm(1,2)A0685211.4567910310469068692...
agm(1,3)A0848951.8636167832448965424...
agm(1,4)A0848962.2430285802876025701...
agm(1,5)A0848972.6040081905309402887...

算術-幾何平均數的導數由下式給出

partial/(partialb)agm(a,b)=(agm(a,b))/((a-b)bpi)[2agm(a,b)E(k)-bpi]
(14)
=pi/(8kb)((a+b)E(k)-2bK(k))/([K(k)]^2),
(15)

其中 k=(a-b)/(a+b), K(k) 是第一類完全橢圓積分，E(k) E(k) 是第二類完全橢圓積分。

agm(1,b) 的級數展開式由下式給出

agm(1,b)=-pi/(2ln(1/4b))+(pi[1+ln(1/4b)]b^2)/(8[ln(1/4b)]^2)+O(b^4).
(16)

算術-幾何平均數具有以下性質

lambdaagm(a,b)=agm(lambdaa,lambdab)
(17)
agm(a,b)=agm(1/2(a+b),sqrt(ab))
(18)
agm(1,sqrt(1-x^2))=agm(1+x,1-x)
(19)
agm(1,b)=(1+b)/2agm(1,(2sqrt(b))/(1+b)).
(20)

微分方程的解

(x^3-x)(d^2y)/(dx^2)+(3x^2-1)(dy)/(dx)+xy=0
(21)

由 [agm(1+x,1-x)]^(-1) 和 [agm(1,x)]^(-1) 給出。

算術-幾何平均數的一個推廣是

I_p(a,b)=int_0^infty(x^(p-2)dx)/((x^p+a^p)^(1/p)(x^p+b^p)^((p-1)/p)),
(22)

它與微分方程的解有關

x(1-x^p)Y^('')+[1-(p+1)x^p]Y^'-(p-1)x^(p-1)Y=0.
(23)

p=2 的情況透過以下方式對應於算術-幾何平均數

I_2(a,b)=int_0^infty(dx)/(sqrt((x^2+a^2)(x^2+b^2)))
(24)
=pi/(2agm(a,b)).
(25)

p=3 的情況給出三次相對

I_3(a,b)=int_0^infty(xdx)/([(a^3+x^3)(b^3+x^3)^2]^(1/3))
(26)
=(Gamma^3(1/3)_2F_1(1/3,1/3;2/3;(a/b)^3))/(2pibsqrt(3))-(4api^2_2F_1(2/3,2/3;4/3;(a/b)^3))/(3b^2Gamma^3(1/3))
(27)

由 Borwein 和 Borwein (1990, 1991) 以及 Borwein (1996) 討論。 對於 a,b>0，此函式滿足函式方程

I_3(a,b)=I_3((a+2b)/3,[b/3(a^2+ab+b^2)]^(1/3)).
(28)

因此結果是，對於以 a_0=a 和 b_0=b 以及

a_(n+1)=(a_n+2b_n)/3
(29)
b_(n+1)=[(b_n)/3(a_n^2+a_nb_n+b_n^2)]^(1/3),
(30)

所以

lim_(n->infty)a_n=lim_(n->infty)b_n=(I_3(1,1))/(I_3(a,b)),
(31)

其中

I_3(1,1)=(2pi)/(3sqrt(3)).
(32)

另請參閱

算術平均數, 算術-調和平均數, 高斯常數, 幾何平均數, Lemniscate 函式

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/ArithmeticGeometricMean/

使用 探索

參考資料

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). "算術-幾何平均數的計算過程." §17.6 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版. 紐約: Dover, 第 571 頁和 598-599 頁, 1972.Borwein, J. 和 Bailey, D. 實驗數學：21 世紀的合理推理. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Borwein, J. M. 問題 10281. "AGM 的三次相對." Amer. Math. Monthly 103, 181-183, 1996.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & AGM：解析數論和計算複雜性研究. 紐約: Wiley, 1987.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. "一個非凡的三次迭代." 收錄於 計算方法與函式論：1989 年 3 月 13-18 日在智利瓦爾帕萊索舉行的會議論文集 (編 A. Dold, B. Eckmann, F. Takens, E. B. Saff, S. Ruscheweyh, L. C. Salinas, 和 R. S. Varga). 紐約: Springer-Verlag, 1990.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. "雅可比恆等式和 AGM 的三次對應物." Trans. Amer. Math. Soc. 323, 691-701, 1991.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. FORTRAN 數值秘笈：科學計算的藝術，第 2 版. 劍橋, 英格蘭: 劍橋大學出版社, 第 906-907 頁, 1992.Sloane, N. J. A. 序列 A014549, A068521, A084895, A084896, 和 A084897 收錄於 "整數序列線上百科全書."

在 中引用

算術-幾何平均數

引用為

Weisstein, Eric W. "算術-幾何平均數." 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/Arithmetic-GeometricMean.html

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