算術平均數

一組數值的算術平均數通常被稱為“平均數”或“平均值”。 給定一組樣本 ，算術平均數是

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它可以使用 Wolfram 語言 計算，使用方法是Mean[list].

算術平均數是 的特殊情況，即 冪平均，並且是 畢達哥拉斯平均數 之一。

當被視為底層分佈均值的估計量（稱為 總體均值）時，樣本 的算術平均數稱為 樣本均值。

對於 連續 分佈函式，總體的算術平均數，表示為 ， ， ，或 ，並稱為分佈的 總體均值，由下式給出

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其中 是 期望值。 類似地，對於 離散分佈，

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算術平均數滿足

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和

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如果 和 是 獨立統計量。“樣本均值”，即從統計樣本估計的均值，是總體均值的 無偏估計量。

Hoehn 和 Niven (1985) 表明

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對於任何常數 。 對於正引數，算術平均數滿足

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其中 是 幾何平均數， 是 調和平均數 (Hardy et al. 1952, Mitrinović 1970, Beckenbach and Bellman 1983, Bullen et al. 1988, Mitrinović et al. 1993, Alzer 1996)。 這可以如下所示。 對於 ,

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當且僅當 iff 時等號成立。 為了證明不等式的第二部分，

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當且僅當 iff 時等號成立。 結合 (◇) 和 (◇) 得到 (◇)。

給定 個獨立的隨機 正態分佈 變數 ，每個變數都具有 總體均值 和 方差 ，

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因此，樣本均值是總體均值的 無偏估計量。 然而， 的分佈取決於樣本大小。 對於大樣本， 近似於 正態分佈。 對於小樣本，應使用 學生t分佈。

樣本均值的 方差 與分佈無關，由下式給出

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對於小樣本，樣本均值是 總體均值 比 統計中位數 更有效的估計量，並且大約小 (Kenney 和 Keeping 1962, p. 211)。 在這裡，如果一個機率分佈引數的估計量比另一個估計量具有更小的 方差，則稱該估計量更有效。 在這種情況下，樣本均值的方差通常小於樣本中位數的方差。 兩個估計量的相對效率是此方差的比率。

一個通常近似成立的通用表示式是

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(Kenney 和 Keeping 1962)。