學生 t 分佈

威廉·戈塞特於 1908 年發表的一種統計分佈。他的僱主吉尼斯啤酒廠要求他使用筆名發表，因此他選擇了“Student”。 給定 個獨立測量值 ，令

其中 是總體均值， 是樣本均值，s 是總體標準差（即樣本方差）的估計量，定義為

學生 -分佈定義為隨機變數 的分佈，它（非常粗略地）是在不知道 的情況下我們能做的“最好”的。

具有 個自由度的學生 分佈在 Wolfram 語言中實現為StudentTDistribution[n].

如果 ， 並且分佈變為正態分佈。 隨著 的增加，學生 -分佈接近正態分佈。

學生 -分佈可以透過使用以下公式轉換 Student's z-分佈來匯出

然後定義

得到的機率和累積分佈函式是

其中

是自由度數，， 是伽瑪函式， 是貝塔函式， 是超幾何函式，I(z;a,b) 是由下式定義的正則化貝塔函式

學生 -分佈的均值、方差、偏度和峰度超額為

前幾個 值的特徵函式 是

等等，其中 是第二類修正貝塞爾函式。

下表給出了置信區間，即 的值，使得分佈函式 分佈函式 等於各種機率，對於自由度數 的各種小值。 Beyer（1987 年，第 571 頁）給出了 60%、70%、90%、95%、97.5%、99%、99.5% 和 99.95% 的置信區間，Goulden（1956 年）給出了 50%、90%、95%、98%、99% 和 99.9% 的置信區間。

具有相關矩陣 和 個自由度的學生 分佈的多元形式實現為MultivariateTDistribution[r, m] 在 Wolfram 語言包中MultivariateStatistics` .

所謂的 分佈對於測試兩個觀察到的分佈是否具有相同的均值很有用。 給出了對於具有 個自由度的某個統計量 ，兩個觀察到的均值之差純粹是偶然機會小於觀察值的機率

令 為均值為 0 且方差為 正態分佈的隨機變數，令 均值 ，令 具有自由度為 卡方分佈 ，並令 自由度 和 獨立。 然後

分佈為自由度為 的學生 分佈。