方差

對於具有分佈 且已知 總體均值 的單個 變數 ，總體方差 ，通常也寫作 ，定義為

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其中 是總體均值，而 表示 的 期望值。對於具有 個可能值 的 離散分佈，總體方差因此為

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而對於 連續分佈，它由下式給出

(3)

因此，方差等於第二個 中心矩 。

請注意，在將 解釋為方差時，需要謹慎，因為符號 也常被用作與方差的平方根相關但不等同的引數，例如在對數正態分佈、麥克斯韋分佈和瑞利分佈中。

如果基礎分佈未知，則可以計算樣本方差為

(4)

其中 是樣本均值。

請注意，上面定義的樣本方差 不是 總體方差 的無偏估計量。為了獲得 的無偏估計量，有必要改為定義“偏差校正樣本方差”

(5)

和 之間的區別是常見的混淆來源，在查閱文獻以確定使用哪種約定，特別是當不明確的符號 通常用於兩者時，應格外小心。資料列表的偏差校正樣本方差 實現為方差[列表]。

方差的平方根稱為標準差。

給出總體方差的有偏估計量的原因是，實際上是從資料本身估計了兩個自由引數 和 。在這種情況下，使用 Student's t 分佈 而不是 正態分佈 作為模型是合適的，因為，非常籠統地說，Student's t 分佈是在不知道 的情況下可以做到的“最佳”選擇。

形式上，為了從先驗未知 均值（即均值是從樣本本身估計的）的 個元素的樣本中估計總體方差 ，我們需要 的無偏估計量。這由 k 統計量 給出，其中

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而 是未針對偏差校正的樣本方差。

事實證明，量 具有 卡方分佈。

對於資料集 ，透過線性變換獲得的資料的方差由下式給出

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對於多個變數，方差使用協方差的定義給出，

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線性求和具有類似的形式

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這些方程可以使用協方差矩陣表示。