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卡方分佈

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如果 Y_i 具有 正態 獨立 分佈，均值 為 0，方差 為 1，那麼

chi^2=sum_(i=1)^rY_i^2
(1)

分佈為 chi^2，自由度為 r 自由度。這使得 chi^2 分佈成為 伽瑪分佈，引數為 theta=2 和 alpha=r/2，其中 r 是 自由度 的數量。

更一般地，如果 chi_i^2 按照具有 chi^2 分佈 自由度 r_1, r_2, ..., r_k 獨立分佈，那麼

sum_(j=1)^kchi_j^2
(2)

按照 chi^2 分佈，自由度 為 r=sum_(j=1)^(k)r_j。

ChiSquared
ChiSquarePlots

具有 chi^2 分佈，r 自由度的機率密度函式由下式給出

P_r(x)=(x^(r/2-1)e^(-x/2))/(Gamma(1/2r)2^(r/2))
(3)

對於 x in [0,infty), 其中 Gamma(x) 是 伽瑪函式。累積分佈函式為：

D_r(chi^2)=int_0^(chi^2)(t^(r/2-1)e^(-t/2)dt)/(Gamma(1/2r)2^(r/2))
(4)
=1-(Gamma(1/2r,1/2chi^2))/(Gamma(1/2r))
(5)
=(gamma(1/2r,1/2chi^2))/(Gamma(1/2r))
(6)
=P(1/2r,1/2chi^2),
(7)

其中 gamma(a,x) 是 不完全伽瑪函式，P(a,z) 是 正則化伽瑪函式。

卡方分佈在 Wolfram 語言中實現為ChiSquareDistribution[n].

對於 r<=2, P_r(x) 是單調遞減的，但對於 r>=3, 它在

x=r-2,
(8)

處有一個最大值，其中

(dP_r)/(dx)=((r-x-2)x^((r-4)/2))/(2^(1+r/2)e^(x/2)Gamma(1/2r))=0.
(9)

具有 r 自由度 分佈的第 n 階 原點矩 為

mu_n^'=2^n(Gamma(n+1/2r))/(Gamma(1/2r))
(10)
=r(r+2)...(r+2n-2),
(11)

給出前幾個為

mu_1^'=r
(12)
mu_2^'=r(r+2)
(13)
mu_3^'=r(r+2)(r+4)
(14)
mu_4^'=r(r+2)(r+4)(r+6).
(15)

第 n 階 中心矩 由下式給出

mu_n=2^nU(-n,1-n-1/2r,-1/2r),
(16)

其中 U(a,b,x) 是 第二類合流超幾何函式，給出前幾個為

mu_2=2r
(17)
mu_3=8r
(18)
mu_4=12r(r+4)
(19)
mu_5=32r(12+5r).
(20)

可以透過 特徵函式 找到 累積量

phi(t)=int_0^infty(2^(-r/2)e^(-x/2)x^((r-2)/2))/(Gamma(1/2r))dx
(21)
=(1-2it)^(-r/2).
(22)

對兩邊取 自然對數 得到

lnphi=-1/2rln(1-2it).
(23)

但這只是一個 麥卡托級數

ln(1-x)=-sum_(n=1)^infty(x^n)/n
(24)

其中 x=2it, 因此從累積量的定義可以得出

sum_(n=0)^inftykappa_n((it)^n)/(n!)=1/2rsum_(n=1)^infty((2it)^n)/n,
(25)

給出結果

kappa_n=2^(n-1)(n-1)!r.
(26)

因此前幾個是

kappa_1=r
(27)
kappa_2=2r
(28)
kappa_3=8r
(29)
kappa_4=48r.
(30)

chi^2 分佈的 矩生成函式 是

M(t)=(1-2t)^(-r/2)
(31)
R(t)=lnM(t)
(32)
=-1/2rln(1-2t)
(33)
R^'(t)=r/(1-2t)
(34)
R^('')(t)=(2r)/((1-2t)^2),
(35)

所以

mu=R^'(0)
(36)
=r
(37)
sigma^2=R^('')(0)
(38)
=2r
(39)
gamma_1=2sqrt(2/r)
(40)
gamma_2=(12)/r.
(41)

如果均值不等於零，則會得到一個更一般的分佈，稱為 非中心卡方分佈。特別地，如果 X_i 是 正態分佈 的獨立變數，均值 為 mu_i，方差 為 sigma_i^2，對於 i=1, ..., n, 那麼

1/2chi^2=sum_(i=1)^n((x_i-mu_i)^2)/(2sigma_i^2)
(42)

服從 伽瑪分佈，引數為 alpha=n/2，即

P(y)dy=1/(Gamma(1/2n))e^(-y)y^((n/2)-1)dy.
(43)

其中 y=chi^2/2。

另請參閱

卡方分佈, 非中心卡方分佈, 正態分佈, Snedecor's F 分佈, 統計分佈

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版. New York: Dover, pp. 940-943, 1972.Beyer, W. H. CRC 標準數學表格，第 28 版. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 535, 1987.Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. "卡方分佈." §5.3 在 統計數學，第二部分，第 2 版. Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 98-100, 1951.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. "不完全伽瑪函式、誤差函式、卡方機率函式、累積泊松函式." §6.2 在 FORTRAN 數值方法：科學計算的藝術，第 2 版. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 209-214, 1992.Spiegel, M. R. 機率與統計的理論與問題. New York: McGraw-Hill, pp. 115-116, 1992.

在 中引用

卡方分佈

請引用為

Eric W. Weisstein "卡方分佈." 來自 —— 資源. https://mathworld.tw/Chi-SquaredDistribution.html

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