主題
Search

不完全伽瑪函式

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram Mathematica 筆記本

“完全” 伽瑪函式 Gamma(a) 可以推廣到不完全伽瑪函式 Gamma(a,x) 使得 Gamma(a)=Gamma(a,0)。 這個“上”不完全伽瑪函式由下式給出

Gamma(a,x)=int_x^inftyt^(a-1)e^(-t)dt.
(1)

對於 a 整數 n

Gamma(n,x)=(n-1)!e^(-x)sum_(k=0)^(n-1)(x^k)/(k!)
(2)
=(n-1)!e^(-x)e_(n-1)(x),
(3)

其中 e_n(x) 是指數和函式。它在以下語言中實現為Gamma[a, z] 在 Wolfram Language 中。

特殊情況 x=-1 可以用 子階乘 !n 表示為

Gamma(n,-1)=e!(n-1).
(4)

不完全伽瑪函式 Gamma(0,x) 具有連分數

Gamma(0,x)=(e^(-x))/(x+1-1/(x+3-4/(x+5-9/(x+7+...))))
(5)

(Wall 1948, p. 358)。

下不完全伽瑪函式由下式給出

gamma(a,x)=int_0^xt^(a-1)e^(-t)dt
(6)
=a^(-1)x^ae^(-x)_1F_1(1;1+a;x)
(7)
=a^(-1)x^a_1F_1(a;1+a;-x),
(8)

其中 _1F_1(a;b;x) 是第一類合流超幾何函式。對於 a 整數 n，

gamma(n,x)=(n-1)!(1-e^(-x)sum_(k=0)^(n-1)(x^k)/(k!))
(9)
=(n-1)![1-e^(-x)e_(n-1)(x)].
(10)

它在以下語言中實現為Gamma[a, 0, z] 在 Wolfram Language 中。

根據定義，下不完全伽瑪函式和上不完全伽瑪函式滿足

Gamma(a,x)+gamma(a,x)=Gamma(a).
(11)

指數積分 Ei(z) 與不完全伽瑪函式 Gamma(0,z) 密切相關，關係如下

Gamma(0,z)=-Ei(-z)+1/2[ln(-z)-ln(-1/z)]-lnz.
(12)

因此，對於實數 x，

Gamma(0,x)={-Ei(-x)-ipi for x<0; -Ei(-x) for x>0.
(13)

另請參閱

指數積分, 伽瑪函式, 正則化伽瑪函式

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma2/, http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma3/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編輯). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 260, 1972.Arfken, G. "不完全伽瑪函式和相關函式。" §10.5 in 物理學家數學方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 565-572, 1985.Wall, H. S. 連分數的解析理論。 New York: Chelsea, 1948.

在 中被引用

不完全伽瑪函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "不完全伽瑪函式。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/IncompleteGammaFunction.html

主題分類