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子階乘

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第 n 個子階乘（也稱為錯位數；Goulden 和 Jackson 1983, p. 48; Graham et al. 2003, p. 1050）是沒有物體出現在其自然位置上的 n 個物體的排列的數量（即，“錯位排列”）。

術語“子階乘”由 Whitworth (1867 或 1878; Cajori 1993, p. 77) 引入。 尤拉 (Euler) (1809) 計算了前十項。

對於 n=1, 2, ...，!n 的前幾個值是 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, ... (OEIS A000166)。 例如，{1,2,3} 的唯一錯位排列是 {2,3,1} 和 {3,1,2}，因此 !3=2。 類似地，{1,2,3,4} 的錯位排列是 {2,1,4,3}, {2,3,4,1}, {2,4,1,3}, {3,1,4,2}, {3,4,1,2}, {3,4,2,1}, {4,1,2,3}, {4,3,1,2}, 和 {4,3,2,1}，因此 !4=9。

對於 !n 的求和與公式包括

!n=n!sum_(k=0)^(n)((-1)^k)/(k!)
(1)
=sum_(k=0)^(n)k!(-1)^(n-k)(n; k)
(2)
=sum_(k=0)^(n)(n!(-1)^(n-k))/((n-k)!)
(3)
=(Gamma(n+1,-1))/e
(4)

其中 n! 是階乘，(n; k) 是二項式係數，並且 Gamma(a,z) 是不完全伽瑪函式。

子階乘在 Wolfram 語言中實現為子階乘[n].

Subfactorial

上面展示了推廣到任何實數引數的子階乘的實部和虛部的圖，其中通常的整數值子階乘對應於非負整數 n。

子階乘也稱為重合數，並滿足遞推關係

!n=n·!(n-1)+(-1)^n
(5)
!n=(n-1)[!(n-2)+!(n-1)].
(6)

子階乘可以被認為是受限車擺放問題的一個特例。

子階乘具有生成函式

G(x)=(e^(-(1+1/x)))/xEi(1+1/x)
(7)
=sum_(n=0)^(infty)(!n)x^n
(8)
=1+x^2+2x^3+9x^4+44x^5+265x^6+...,
(9)

其中 Ei(x) 是指數積分，以及指數生成函式

E(x)=(e^(-x))/(1-x)
(10)
=sum_(n=0)^(infty)(!n)(x^n)/(n!)
(11)
=1+1/2x^2+1/3x^3+3/8x^4+(11)/(30)x^5+...
(12)

(OEIS A053557 和 A053556)。

子階乘通常表示為 !n, n!` (Graham et al. 2003, p. 194), n^_ (Dörrie 1965, p. 19), d(n) (Pemmaraju 和 Skiena 2003, p. 106), d_n (Goulden 和 Jackson 1983, p. 48; van Lint 和 Wilson 1992, p. 90), 或 D_n (Riordan 1980, p. 59; Stanley 1997, p. 489)，後者在將它們視為錯位排列時尤其常用。

另一個方程由下式給出

!n=[(n!)/e],
(13)

其中 k! 是通常的階乘，而 [x] 是最接近整數函式。 M. Hassani（私人通訊，2004 年 10 月 28 日）給出了以下形式

!n=|_(n!+1)/e_|
(14)

對於 n>=1 和

!n=|_(e+e^(-1))n!_|-|_en!_|
(15)

對於 n!=1，其中 |_x_| 是向下取整函式。

對於 !n 的積分由下式給出

int_(-1)^inftyx^ne^(-(x+1))dx=!n.
(16)

對於 !n 的連分數由下式給出

!n=(n!)/e+((-1)^n)/(n+2-1/(n+3-2/(n+4-3/(n+5-...)))).
(17)

對於 n=0, 1, ...，!(10^n) 中的十進位制數字的數量是 7, 158, 2568, 35660, 456574, 5565709, 65657059, ... (OEIS A114485)。

唯一的素數子階乘是 !3=2。

唯一等於其數字的子階乘之和的數字是

148349=!1+!4+!8+!3+!4+!9
(18)

(Madachy 1979)。

SubfactorialReIm
SubfactorialContours

子階乘可以解析延拓到複平面，如上圖所示。

另請參見

錯位排列, 階乘, 夫妻就座問題, 車擺放問題, 超階乘

使用 探索

參考文獻

Cajori, F. 數學符號史，第 2 卷。 New York: Cosimo Classics, 2007.Dörrie, H. §6 in 初等數學的 100 個偉大問題：其歷史和解決方案。 New York: Dover, pp. 19-21, 1965.Euler, L. "Solution quaestionis curiosae ex doctrina combinationum." Mémoires Académie Sciences St. Pétersbourg 3, 57-64, 1809. Reprinted in Opera Omnia, Series Prima, Vol. 7. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 435-440, 1915.Goulden, I. P. and Jackson, D. M. 組合列舉。 New York: Wiley, 1983.Graham, R. L.; Grötschel, M.; and Lovász, L. (Eds.). 組合數學手冊，第 2 卷。 Cambridge, MA: MIT Press, 2003.Madachy, J. S. Madachy 的數學娛樂。 New York: Dover, p. 167, 1979.Pemmaraju, S. and Skiena, S. 計算離散數學：組合數學和圖論與 Mathematica。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Riordan, J. 組合分析導論。 New York: Wiley, 1980.Sloane, N. J. A. 序列 A000166/M1937, A053556, A053557, 和 A114485 in "整數序列線上百科全書。"Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. 圖 M1937 in 整數序列百科全書。 San Diego: Academic Press, 1995.Stanley, R. P. 列舉組合學，第 1 卷。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 67, 1997.van Lint, J. H. and Wilson, R. M. 組合數學教程。 New York: Cambridge University Press, 1992.Wells, D. 企鵝好奇和有趣的數字詞典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 27, 1986.Whitworth, W. A. 選擇與機會，算術的兩章，附錄包含排列和組合的代數處理新論。 Cambridge, England: Deighton, Bell, 1867.Whitworth, W. A. 信使數學。 1878.

在 上引用

子階乘

請引用為

Weisstein, Eric W. "子階乘。" 來源 --一個 資源。 https://mathworld.tw/Subfactorial.html

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