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指數積分

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ExponentialIntegral
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令 E_1(x) 為 En-函式，其中 n=1,

E_1(x)=int_1^infty(e^(-tx)dt)/t
(1)
=int_x^infty(e^(-u)du)/u.
(2)

然後定義指數積分 Ei(x) 為

E_1(x)=-Ei(-x),
(3)

其中保留 -Ei(-x) 符號 是一種歷史遺留。然後 Ei(x) 由以下積分給出

Ei(x)=-int_(-x)^infty(e^(-t)dt)/t.
(4)

此函式在 Wolfram 語言 中實現為ExpIntegralEi[x]。

指數積分 Ei(z) 與 不完全伽瑪函式 Gamma(0,z) 密切相關，關係如下

Gamma(0,z)=-Ei(-z)+1/2[ln(-z)-ln(-1/z)]-lnz.
(5)

因此，對於實數 x,

Gamma(0,x)={-Ei(-x)-ipi for x<0; -Ei(-x) for x>0.
(6)

純虛數的指數積分可以寫成

Ei(ix)=ci(x)+i[1/2pi+si(x)]
(7)

對於 x>0，其中 ci(x) 和 si(x) 分別是 餘弦 積分和 正弦積分。

特殊值包括

Ei(1)=1.89511781...
(8)

(OEIS A091725)。

指數積分的實根出現在 0.37250741078... (OEIS A091723)，即 lnmu，其中 mu 是 Soldner 常數 (Finch 2003)。

量 -eEi(-1)=0.596347362... (OEIS A073003) 被稱為 Gompertz 常數。

以下表達式的極限可以解析地給出

lim_(x->0^+)(e^(2Ei(-x)))/(x^2)=e^(2gamma)
(9)
=3.17221895...,
(10)

(OEIS A091724)，其中 gamma 是 Euler-Mascheroni 常數。

Ei(z) 沿正實軸的 Puiseux 級數 由下式給出

Ei(z)=gamma+lnz+z+1/4z^2+1/(18)z^3+1/(96)z^4+1/(600)z^5+...,
(11)

其中係數的分母由 n·n! 給出 (OEIS A001563; van Heemert 1957, Mundfrom 1994)。

另請參閱

餘弦積分, En-函式, Gompertz 常數, 不完全伽瑪函式, 正弦積分, Soldner 常數

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralEi/

使用 探索

參考文獻

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 566-568, 1985.Finch, S. R. "Euler-Gompertz Constant." §6.2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 423-428, 2003.Harris, F. E. "Spherical Bessel Expansions of Sine, Cosine, and Exponential Integrals." Appl. Numer. Math. 34, 95-98, 2000.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 105-106, 2003.Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "The Exponential and Related Integrals." §15.09 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 470-472, 1988.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 434-435, 1953.Mundfrom, D. J. "A Problem in Permutations: The Game of 'Mousetrap.' " European J. Combin. 15, 555-560, 1994.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Exponential Integrals." §6.3 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 215-219, 1992.Sloane, N. J. A. Sequences A001563/M3545, A073003, A091723, A091724, and A091725 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Exponential Integral Ei(x) and Related Functions." Ch. 37 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 351-360, 1987.van Heemert, A. "Cyclic Permutations with Sequences and Related Problems." J. reine angew. Math. 198, 56-72, 1957.

在 中被引用

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請引用為

Weisstein, Eric W. "指數積分。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ExponentialIntegral.html

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