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尤拉-馬歇羅尼常數

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尤拉-馬歇羅尼常數 gamma，有時也稱為“尤拉常數”或“尤拉常數”（但不要與常數 e=2.718281... 混淆），定義為序列的極限

gamma=lim_(n->infty)(sum_(k=1)^(n)1/k-lnn)
(1)
=lim_(n->infty)(H_n-lnn),
(2)

其中 H_n 是 調和數 (Graham et al. 1994, p. 278)。它最初由尤拉 (1735) 定義，他使用了字母 C 並表示它“值得認真考慮”（Havil 2003, pp. xx 和 51）。符號 gamma 最早由馬歇羅尼 (1790) 使用。

gamma 的數值為

gamma=0.577215664901532860606512090082402431042...
(3)

(OEIS A001620)，並在 Wolfram 語言 中實現為EulerGamma.

目前尚不清楚這個常數是否是 無理數，更不用說 超越數 了 (Wells 1986, p. 28)。著名的英國數學家 G. H. Hardy 據說曾表示，如果有人能證明 gamma 是無理數，他就放棄在牛津的 Savilian 講席（Havil 2003, p. 52），儘管似乎沒有已知的書面參考文獻支援這一說法。希爾伯特提到 gamma 的無理性是一個“難以接近”的未解決問題，數學家對此束手無策（Havil 2003, p. 97）。Conway 和 Guy (1996) “準備打賭它是超越數”，儘管他們不期望在他們的有生之年能得到證明。如果 gamma 是一個簡單的分數 a/b，那麼已知 b>10^(10000) (Brent 1977; Wells 1986, p. 28)，後來 T. Papanikolaou 將其改進為 b>10^(242080) (Havil 2003, p. 97)。

尤拉-馬歇羅尼常數連分數 由 [0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] 給出 (OEIS A002852)。

gamma 的 Engel 展開 由 2, 7, 13, 19, 85, 2601, 9602, 46268, 4812284, ... 給出 (OEIS A053977)。

尤拉-馬歇羅尼常數出現在許多積分中

gamma=-int_0^inftye^(-x)lnxdx
(4)
=-int_0^1lnln(1/x)dx
(5)
=int_0^infty(1/(1-e^(-x))-1/x)e^(-x)dx
(6)
=int_0^infty1/x(1/(1+x)-e^(-x))dx
(7)

(Whittaker 和 Watson 1990, p. 246)。給出 gamma 與其他簡單常數組合的積分包括

int_0^inftye^(-x^2)lnxdx=-1/4sqrt(pi)(gamma+2ln2)
(8)
int_0^inftye^(-x)(lnx)^2dx=gamma^2+1/6pi^2.
(9)

二重積分 包括

gamma=int_0^1int_0^1(x-1)/((1-xy)ln(xy))dxdy
(10)

(Sondow 2003, 2005; Borwein et al. 2004, p. 49)。方程 (10) 的一個有趣的類似物由下式給出

ln(4/pi)=sum_(n=1)^(infty)(-1)^(n-1)[1/n-ln((n+1)/n)]
(11)
=int_0^1int_0^1(x-1)/((1+xy)ln(xy))dxdy
(12)
=0.241564...
(13)

(OEIS A094640; Sondow 2005)。

gamma 也由 梅爾滕斯定理 給出

e^gamma=lim_(n->infty)1/(lnp_n)product_(i=1)^n1/(1-1/(p_i)),
(14)

其中乘積是對 素數 p 進行的。透過對兩邊取對數，可以得到 gamma 的顯式公式，

gamma=lim_(x->infty)[sum_(p<=x)ln(1/(1-1/p))-lnlnx].
(15)

它也由級數給出

gamma=sum_(k=1)^infty[1/k-ln(1+1/k)]
(16)

由尤拉給出，這從方程 (1) 透過首先將 lnn 替換為 ln(n+1) 而得到，這是可行的，因為

lim_(n->infty)[ln(n+1)-lnn]=lim_(n->infty)ln(1+1/n)=0,
(17)

然後代入 伸縮和

sum_(k=1)^nln(1+1/k)
(18)

對於 ln(n+1)，這是它的和，因為再次

ln(1+1/k)=ln(k+1)-lnk,
(19)

得到

gamma=lim_(n->infty)[sum_(k=1)^(n)1/k-sum_(k=1)^(n)ln(1+1/k)]
(20)
=lim_(n->infty)sum_(k=1)^(n)[1/k-ln(1+1/k)]
(21)

這等於方程 (◇)。

其他級數包括

gamma=sum_(n=2)^(infty)(-1)^n(zeta(n))/n
(22)
=ln(4/pi)+sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1)zeta(n+1))/(2^n(n+1))
(23)

(Gourdon 和 Sebah 2003, p. 3)，其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式，以及

gamma=sum_(n=1)^infty(-1)^n(|_lgn_|)/n
(24)

(Vacca 1910, Gerst 1969)，其中 lg 是以 2 為底的 對數，|_x_| 是 向下取整函式。Nielsen (1897) 早期給出了一個等價於 (24) 的級數，

gamma=1-sum_(n=1)^inftysum_(k=2^(n-1))^(2^n-1)n/((2k+1)(2k+2)).
(25)

要看到 (25) 與 (24) 的等價性，展開

1/((2k+1)(2k+2))=1/(2k+1)-1/(2k+2)
(26)

並加上

0=-1/2+1/4+1/8+1/(16)+...
(27)

到 Nielsen 的方程以得到 Vacca 的公式。

和

gamma=sum_(n=1)^(infty)sum_(k=2^n)^(infty)((-1)^k)/k
(28)
=sum_(k=1)^(infty)1/(2^(k+1))sum_(j=0)^(k-1)(2^(k-j)+j; j)^(-1)
(29)

(Gosper 1972，其中 k-j 替換了未定義的 i；Bailey 和 Crandall 2001) 可以從方程 (24) 獲得，方法是將其重寫為 二重級數，然後對每個級數應用 尤拉級數變換，然後相加得到方程 (29)。這裡，(n; k) 是 二項式係數，並且允許重新排列條件收斂級數，因為正項和負項可以首先成對分組，重新排列得到的正數級數，然後將級數取消分組回到正項和負項。

二重級數 (28) 等價於 Catalan 積分

gamma=int_0^11/(1+x)sum_(n=1)^inftyx^(2^n-1)dx.
(30)

要看到等價性，將 1/(1+x) 展開為 幾何級數，乘以 x^(2^n-1)，並逐項積分 (Sondow 和 Zudilin 2003)。

其他 gamma 的級數包括

gamma=3/2-ln2-sum_(m=2)^infty(-1)^m(m-1)/m[zeta(m)-1]
(31)

(Flajolet 和 Vardi 1996)，以及

gamma=(2^n)/(e^(2^n))sum_(m=0)^infty(2^(mn))/((m+1)!)sum_(t=0)^m1/(t+1)-nln2+O(1/(2^ne^(2^n))),
(32)

(Bailey 1988)，這是對 Sweeney (1963) 的改進。

一個快速收斂到 gamma 的極限由下式給出

gamma=lim_(n->infty)[(2n-1)/(2n)-lnn+sum_(k=2)^(n)(1/k-(zeta(1-k))/(n^k))]
(33)
=lim_(n->infty)[(2n-1)/(2n)-lnn+sum_(k=2)^(n)1/k(1+(B_k)/(n^k))],
(34)

其中 B_k 是 伯努利數 (C. Stingley, 私人通訊，2003 年 7 月 11 日)。

另一個極限公式由下式給出

gamma=-lim_(n->infty)[(Gamma(1/n)Gamma(n+1)n^(1+1/n))/(Gamma(2+n+1/n))-(n^2)/(n+1)]
(35)

(P. Walker, 私人通訊，2004 年 3 月 17 日)。一個更令人驚奇的極限由下式給出

gamma=lim_(x->infty)zeta(zeta(z))-2^x+(4/3)^x+1
(36)

(B. Cloitre, 私人通訊，2005 年 10 月 4 日)，其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式。

Dirichlet 在 1838 年證明，素數 的另一個關聯是，從 1 到 n 的所有數字的 除數 d(n)=sigma_0(n) 的平均數漸近於

(sum_(k=1)^(n)d(k))/n∼lnn+2gamma-1
(37)

(Conway 和 Guy 1996)。de la Vallée Poussin (1898) 證明，如果一個大數 n 被所有 素數 <=n 除，那麼 商 小於下一個整數的平均量是 gamma。

一個關於 gamma 的優雅恆等式由下式給出

gamma=(S_0(z)-K_0(z))/(I_0(z))-ln(1/2z),
(38)

其中 I_0(z) 是 第一類修正貝塞爾函式，K_0(z) 是 第二類修正貝塞爾函式，並且

S_0(z)=sum_(k=0)^infty((1/2z)^(2k)H_k)/((k!)^2),
(39)

其中 H_n 是 調和數 (Borwein 和 Borwein 1987, p. 336; Borwein 和 Bailey 2003, p. 138)。這給出了一個計算 gamma 的有效迭代演算法，透過計算

B_k=(B_(k-1)n^2)/(k^2)
(40)
A_k=1/k((A_(k-1)n^2)/k+B_k)
(41)
U_k=U_(k-1)+A_k
(42)
V_k=V_(k-1)+B_k
(43)

其中 A_0=-lnn，B_0=1，U_0=A_0，以及 V_0=1 (Borwein 和 Bailey 2003, pp. 138-139)。

重新表述這個恆等式，得到極限

lim_(n->infty)[sum_(k=0)^infty(((n^k)/(k!))^2H_k)/(sum_(k=0)^(infty)((n^k)/(k!))^2)-lnn]=gamma
(44)

(Brent 和 McMillan 1980; Trott 2004, p. 21)。

涉及 gamma 的 無窮乘積 也來自具有 正整數 n 的 Barnes G-函式。情況 G(2) 和 G(3) 給出

product_(n=1)^(infty)e^(-1+1/(2n))(1+1/n)^n=(e^(1+gamma/2))/(sqrt(2pi))
(45)
product_(n=1)^(infty)e^(-2+2/n)(1+2/n)^n=(e^(3+2gamma))/(2pi).
(46)

尤拉-馬歇羅尼常數也由表示式給出

gamma=-Gamma^'(1)
(47)
=-psi_0(1),
(48)

其中 psi_0(x) 是 雙伽瑪函式 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 236)，

gamma=lim_(s->1)[zeta(s)-1/(s-1)]
(49)

(Whittaker 和 Watson 1990, p. 271)，反對稱極限形式

gamma=lim_(s->1^+)sum_(n=1)^infty(1/(n^s)-1/(s^n))
(50)

(Sondow 1998)，以及

gamma=lim_(x->infty)[x-Gamma(1/x)]
(51)

(Le Lionnais 1983)。

方程 (◇) 中第 n 個收斂項與 gamma 之間的差值由下式給出

sum_(k=1)^n1/k-lnn-gamma=int_n^infty(x-|_x_|)/(x^2)dx,
(52)

其中 |_x_| 是 向下取整函式，並滿足 不等式

1/(2(n+1))<sum_(k=1)^n1/k-lnn-gamma<1/(2n)
(53)

(Young 1991)。

符號 gamma 有時也用於

gamma^'=e^gamma approx 1.781072
(54)

(OEIS A073004; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. xxvii)。

存在一個奇特的根式表示

e^gamma=(2/1)^(1/2)((2^2)/(1·3))^(1/3)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/4)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/5)...,
(55)

這與 二重級數 相關

gamma=sum_(n=1)^infty1/nsum_(k=0)^(n-1)(-1)^(k+1)(n-1; k)ln(k+1)
(56)

並且 (n; k) 是 二項式係數 (Ser 1926, Sondow 2003b, Guillera 和 Sondow 2005)。乘積 (55) 的另一個證明以及對此乘積與類似 Wallis 公式 的“更快 π 乘積”之間相似性的解釋

pi/2=(2/1)^(1/2)((2^2)/(1·3))^(1/4)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/8)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/16)...
(57)

(Guillera 和 Sondow 2005, Sondow 2005)，在 Sondow (2004) 中給出。（透過在 (57) 中更改 n->n+1，這種相似性變得更加清晰。）這兩個公式也類似於 e 的乘積，由下式給出

e=(2/1)^(1/1)((2^2)/(1·3))^(1/2)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/3)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/4)...
(58)

由 Guillera (Sondow 2005) 給出。

EulerMascheroniSondow

包含 e^gamma 的乘積的前 n 項後獲得的 r(n) 值在上面繪製。

一個收斂到 gamma 的奇特求和極限由下式給出

lim_(n->infty)1/nsum_(k=1)^(n-1)([n/k]-n/k)=gamma
(59)

(Havil 2003, p. 113)，其中 [x] 是 向上取整函式。

另請參閱

尤拉-馬歇羅尼常數近似值，尤拉-馬歇羅尼常數連分數，尤拉-馬歇羅尼常數數字，尤拉乘積，Hadjicostas 公式，吉普車問題，梅爾滕斯定理，Stieltjes 常數 在 課堂中探索此主題

相關的 Wolfram 站點

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參考文獻

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在 上引用

尤拉-馬歇羅尼常數

請引用本文為

Weisstein, Eric W. “尤拉-馬歇羅尼常數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Euler-MascheroniConstant.html

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