哈吉科斯塔斯公式

下載 Wolfram Notebook

哈吉科斯塔斯公式是單位正方形二重積分的推廣

(1)

(Sondow 2003, 2005; Borwein 等人 2004, p. 49)，其中是尤拉-馬歇羅尼常數。它指出

int_0^1int_0^1(1-x)/(1-xy)[-ln(xy)]^sdxdy
=Gamma(s+2)[zeta(s+2)-1/(s+1)]

(2)

對於，其中是伽瑪函式，是黎曼zeta函式（雖然必須注意，因為那裡存在可去奇點）。它由 Hadjicostas (2004) 猜想提出，並幾乎立即被 Chapman (2004) 證明。特殊情況給出了 Beukers 的積分，

(3)

(Beukers 1979)。當時，該公式與 Beukers 的 Apéry 常數積分有關，這就是最初引起人們對這類積分興趣的原因。

存在一個類似的公式

int_0^1int_0^1(1-x)/(1+xy)[-ln(xy)]^sdxdy
=Gamma(s+2)[eta(s+2)+(1-2eta(s+1))/(s+1)]

(4)

對於，由 Sondow (2005) 提出，其中是狄利克雷eta函式。這包括特殊情況

			(5)
			(6)
			(7)

(OEIS A094640; Sondow 2005) 和

			(8)
			(9)

(OEIS A103130)，其中是 Glaisher-Kinkelin 常數 (Sondow 2005)。

參見

Apéry 常數, 尤拉-馬歇羅尼常數, 黎曼 Zeta 函式 zeta(2), 單位正方形積分

使用探索

更多嘗試

參考文獻

Beukers, F. "A Note on the Irrationality of

and

." Bull. London Math. Soc. 11, 268-272, 1979.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. 數學實驗：計算發現之路。 Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Chapman, R. "A Proof of Hadjicostas's Conjecture." 15 Jun 2004. http://arxiv.org/abs/math/0405478.Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Hadjicostas, P. "A Conjecture-Generalization of Sondow's Formula." 21 May 2004. http://www.arxiv.org/abs/math.NT/0405423/.Sloane, N. J. A. Sequences A094640, A103130 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sondow, J. "Criteria for Irrationality of Euler's Constant." Proc. Amer. Math. Soc. 131, 3335-3344, 2003. http://arxiv.org/abs/math.NT/0209070.Sondow, J. "Double Integrals for Euler's Constant and

and an Analog of Hadjicostas's Formula." Amer. Math. Monthly 112, 61-65, 2005.

在中被引用

哈吉科斯塔斯公式

引用此條目為

Weisstein, Eric W. "Hadjicostas's Formula." 來自網路資源。 https://mathworld.tw/HadjicostassFormula.html

哈吉科斯塔斯公式

參見

使用 探索

參考文獻

在 中被引用

引用此條目為

主題分類

使用探索

在中被引用