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狄利克雷Eta函式

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狄利克雷eta函式是由 eta(s) 定義的函式，定義如下：

eta(s)=sum_(k=1)^(infty)((-1)^(k-1))/(k^s)
(1)
=(1-2^(1-s))zeta(s),
(2)

其中 zeta(s) 是黎曼zeta函式。請注意，Borwein 和 Borwein (1987, p. 289) 使用符號 alpha(s) 而不是 eta(s)。該函式也稱為交錯zeta函式，並用 zeta^*(s) 表示 (Sondow 2003, 2005)。

eta(0)=1/2 透過在 (2) 的右側設定 s=0 來定義，而 eta(1)=ln2 (有時稱為交錯調和級數) 是使用左側定義的。除了 s=1 之外，該函式在 1-2^(1-s) 的每個零點處消失 (Sondow 2003)。

eta函式與黎曼zeta函式和狄利克雷lambda函式的關係為

(zeta(nu))/(2^nu)=(lambda(nu))/(2^nu-1)=(eta(nu))/(2^nu-2)
(3)

和

zeta(nu)+eta(nu)=2lambda(nu)
(4)

(Spanier 和 Oldham 1987)。 eta函式也是多對數函式的特例，

eta(x)=-Li_x(-1).
(5)

值 eta(1) 可以透過注意到 ln(1+x) 對於 -1<x<=1 的麥克勞林級數為

ln(1+x)=x-1/2x^2+1/3x^3-1/4x^4+....
(6)

因此，自然對數 2 為

ln2=ln(1+1)
(7)
=1-1/2+1/3-1/4+...
(8)
=sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1))/n
(9)
=eta(1).
(10)

偶數 整數 的值與黎曼zeta函式的解析值有關。特定值在 Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 811) 中給出，包括

eta(0)=1/2
(11)
eta(1)=ln2
(12)
eta(2)=1/(12)pi^2
(13)
eta(3)=3/4zeta(3)
(14)
eta(4)=7/(720)pi^4
(15)
eta(5)=(15)/(16)zeta(5).
(16)

它出現在積分中

int_0^1int_0^1([-ln(xy)]^s)/(1+xy)dxdy=Gamma(s+2)eta(s+2)
(17)

(Guillera 和 Sondow 2005)。

DirichletEtaPrime

eta函式的導數由下式給出

eta^'(x)=2^(1-x)(ln2)zeta(x)+(1-2^(1-x))zeta^'(x).
(18)

特殊情況由下式給出

eta^'(-1)=3lnA-1/4-(ln2)/3
(19)
=0.2652143709...
(20)
eta^'(0)=1/2ln(pi/2)
(21)
=0.2257913526...
(22)
eta^'(1/2)=zeta(1/2)[1/2(3-sqrt(2))ln2-1/4(sqrt(2)-1)(2gamma+pi+2lnpi)]
(23)
=0.1932888316
(24)
eta^'(1)=gammaln2-((ln2)^2)/2
(25)
=0.1598689037...
(26)

(OEIS A271533, OEIS A256358, OEIS A265162, 和 OEIS A091812), 其中 A 是Glaisher-Kinkelin 常數, zeta(z) 是黎曼zeta函式, 並且 gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數。 eta^'(0) 的恆等式提供了沃利斯公式的一個顯著證明。

另請參閱

戴德金Eta函式, 狄利克雷Beta函式, 狄利克雷Lambda函式, Hadjicostas公式, 黎曼Zeta函式, Zeta函式

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 807-808, 1972.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Guillera, J. 和 Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 2005年6月16日. http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Havil, J. "Real Alternatives." §16.12 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 206-207, 2003.Sloane, N. J. A. 序列 A271533, A256358, A265162, 和 A091812 在 "整數序列線上百科全書" 中.Sondow, J. "Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R[s]=1." Amer. Math. Monthly 110, 435-437, 2003.Sondow, J. "Double Integrals for Euler's Constant and ln(4/pi) and an Analog of Hadjicostas's Formula." Amer. Math. Monthly 112, 61-65, 2005.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Zeta Numbers and Related Functions." Ch. 3 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 25-33, 1987.

在 中被引用

狄利克雷Eta函式

引用此內容為

Weisstein, Eric W. "狄利克雷Eta函式." 來自 --一個 資源. https://mathworld.tw/DirichletEtaFunction.html

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