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格萊歇-金克林常數

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格萊歇-金克林常數 A 定義為

lim_(n->infty)(H(n))/(n^(n^2/2+n/2+1/12)e^(-n^2/4))=A
(1)

(Glaisher 1878, 1894, Voros 1987), 其中 H(n) 是超階乘，以及

lim_(n->infty)(G(n+1))/(n^(n^2/2-1/12)(2pi)^(n/2)e^(-3n^2/4))=(e^(1/12))/A,
(2)

其中 G(n) 是Barnes G-函式。

它有閉式表示

A=e^(1/(12)-zeta^'(-1))
(3)
=(2pi)^(1/12)[e^(gammapi^2/6-zeta^'(2))]^(1/(2pi^2))
(4)
=1.28242712...
(5)

(OEIS A074962) 被稱為格萊歇-金克林常數，而 zeta^'(z) 是黎曼zeta函式的導數 (Kinkelin 1860; Jeffrey 1862; Glaisher 1877, 1878, 1893, 1894; Voros 1987)。

常數 A 實現為Glaisher，並出現在許多求和與積分中，特別是那些涉及伽瑪函式和zeta函式的。

定積分包括

int_0^(1/2)lnGamma(x+1)dx=-1/2-7/(24)ln2+1/4lnpi+3/2lnA
(6)
int_0^infty(xlnx)/(e^(2pix)-1)dx=1/(24)-1/2lnA
(7)

(Glaisher 1878; Almqvist 1998; Finch 2003, p. 135), 其中 lnGamma(z) 是對數伽瑪函式。

Glaisher (1894) 證明了

product_(k=1)^(infty)k^(1/k^2)=1^(1/1)2^(1/4)3^(1/9)4^(1/16)5^(1/25)...
(8)
=((A^(12))/(2pie^gamma))^(pi^2/6)
(9)
product_(k=1,3,5,...)^(infty)k^(1/k^2)=1^(1/1)3^(1/9)5^(1/25)7^(1/49)9^(1/81)...
(10)
=((A^(36))/(2^4pi^3e^(3gamma)))^(pi^2/24)
(11)

(OEIS A115521 和 A115522; Glaisher 1894)。

它也出現在恆等式中

sum_(k=2)^(infty)(lnk)/(k^2)=-zeta^'(2)
(12)
=1/6pi^2[12lnA-gamma-ln(2pi)]
(13)
=0.93754825431...
(14)
sum_(k=3,5,...)^(infty)(lnk)/(k^2)=pi^2(3/2lnA-1/6ln2-1/8lnpi-1/8gamma)
(15)

(OEIS A073002; Glaisher 1894)，這由上述乘積得出。

Guillera 和 Sondow (2005) 給出

lnA=1/8+sum_(n=0)^infty1/(2(n+1))sum_(k=0)^n(-1)^(k+1)(n; k)(k+1)^2ln(k+1).
(16)

另一個更引人注目的乘積是

product_(k=1)^(infty)((4k+1)^(1/(4k+1)^3))/((4k-1)^(1/(4k-1)^3))=(A/(2^(5/32)pi^(1/32))e^(-3/32-gamma/48+p/4))^(pi^3)
(17)
=(2pi)^(-pi^3/32)e^({3pizeta(3)+pi^3[3-2gamma+128zeta^'(-2,1/4)]}/64)
(18)
=e^(-beta^'(3)),
(19)

其中 beta(z) 是狄利克雷beta函式，且

p=sum_(k=3,5,...)^(infty)(zeta(k))/(4^kk(k+1)(k+2))
(20)
=9/(16)-gamma/(24)+(ln2)/2+4lnA+(3zeta(3))/(16pi^2)-8zeta^'(-2,1/4)
(21)
=3/8+gamma/(12)-(4beta^'(3))/(pi^3)+(5ln2)/8-4lnA+(lnpi)/8
(22)

(Glaisher 1894)。

它也由下式給出

A=2^(1/36)pi^(1/6)e^((-gamma/4+s)/3),
(23)

其中

s=sum_(r=2)^(infty)((-1/2)^r(2^r-1)zeta(r))/(1+r)
(24)
=1/(12)[3+3gamma-36zeta^'(-1)-ln2-6lnpi]
(25)

(Glaisher 1878, 1894; 然而，他未能獲得此表示式的閉式形式)。

另請參閱

格萊歇-金克林常數連分數, 格萊歇-金克林常數數字

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/Constants/Glaisher/

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參考文獻

Almkvist, G. "Asymptotic Formulas and Generalized Dedekind Sums." Experim. Math. 7, 343-356, 1998.Finch, S. R. "Glaisher-Kinkelin Constant." §2.15 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 135-145, 2003.Glaisher, J. W. L. "On the Product 1^1.2^2.3^3...n^n." Messenger Math. 7, 43-47, 1878.Glaisher, J. W. L. "On Certain Numerical Products in which the Exponents Depend Upon the Numbers." Messenger Math. 23, 145-175, 1893.Glaisher, J. W. L. "On the Constant which Occurs in the Formula for 1^1.2^2.3^3...n^n." Messenger Math. 24, 1-16, 1894.Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 88 and 113, 2003.Jeffrey, H. M. "On the Expansion of Powers of the Trigonometrical Ratios in Terms of Series of Ascending Powers of the Variables." Messenger Math. 5, 91-108, 1862.Kinkelin. "Über eine mit der Gammafunktion verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung." J. reine angew. Math. 57, 122-158, 1860.Sloane, N. J. A. Sequences A074962, A087501, A099791, A099792, A115521, and A115522 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Voros, A. "Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Zeta Function." Commun. Math. Phys. 110, 439-465, 1987.

在 中被引用

格萊歇-金克林常數

請引用為

Weisstein, Eric W. “格萊歇-金克林常數。” 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/Glaisher-KinkelinConstant.html

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