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對數伽瑪函式

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上面的圖表顯示了透過取 自然對數 的 伽瑪函式 得到的值，lnGamma(z)。請注意，這引入了從對數函式繼承的複雜的 分支切割 結構。

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因此，伽瑪函式的對數有時被視為獨立的特殊函式，並與 lnGamma(z) 的定義不同。這個特殊的“對數伽瑪”函式在 Wolfram 語言 中實現為LogGamma[z]，如上圖所示。可以看出，這兩個定義具有相同的實部，但在虛部上差異顯著。最重要的是，儘管對數伽瑪函式和 lnGamma(z) 作為解析 多值函式 是等價的，但它們具有不同的分支切割結構和不同的主分支，並且對數伽瑪函式在整個複數 z-平面上解析，除了沿負 實軸 的單個 分支切割 不連續性。特別地，對數伽瑪函式允許簡潔地表達許多與 黎曼 zeta 函式 zeta(z) 相關的恆等式。

對數伽瑪函式可以定義為

lnGamma(z)=-gammaz-lnz+sum_(k=1)^infty[z/k-ln(1+z/k)].
(1)

（Boros 和 Moll 2004, p. 204）。另一個和由下式給出

lnGamma(z)=(z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2sum_(n=2)^infty(n-1))/(n(n+1))zeta(n,z+1)
(2)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 261），其中 zeta(s,a) 是 赫爾維茨 zeta 函式。

比內對數伽瑪公式 的第二個是

lnGamma(a)=(a-1/2)lna-a+1/2ln(2pi)+2int_0^infty(tan^(-1)(z/a))/(e^(2piz)-1)dz
(3)

對於 R[a]>0 （Whittaker 和 Watson 1990, p. 251）。lnGamma(z) 的另一個公式由 Malmstén 公式 給出。

lnGamma(x) 的積分包括

int_0^1lnGamma(x)dx=1/2ln(2pi)
(4)
=-zeta^'(0)
(5)
=0.91893...
(6)

（OEIS A075700；Bailey et al. 2007, p. 179），尤拉已知此公式，以及

int_0^1[lnGamma(x)]^2dx=1/(12)gamma^2+1/(48)pi^2+1/6gammaln(2pi)+1/3[ln(2pi)]^2 -[gamma+ln(2pi)](zeta^'(2))/(pi^2)+(zeta^('')(2))/(2pi^2),
(7)

（OEIS A102887；Espinosa 和 Moll 2002, 2004；Boros 和 Moll 2004, p. 203；Bailey et al. 2007, p. 179），其中 gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數，zeta^'(z) 是 黎曼 zeta 函式 的導數。

int_0^1[lnGamma(x)]^3dx 由 Espinosa 和 Moll (2006) 考慮，但他們未能建立閉合形式（Bailey et al. 2006, p. 181）。

另一個積分由下式給出

int_0^(1/2)ln[Gamma(x+1)]dx=-1/2-7/(24)ln2+1/4lnpi+3/2lnA,
(8)

其中 A 是 格萊舍-金克林常數 (Glaisher 1878)。

另請參見

Barnes G-函式, 比內對數伽瑪公式, 雙伽瑪函式, 伽瑪函式, 對數正弦函式, 對數, Malmstén 公式, 斯特林近似, 斯特林級數

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/LogGamma/

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參考文獻

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; 和 Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, 2007.Boros, G. 和 Moll, V. "The Expansion of the Loggamma Function." §10.6 in Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 201-203, 2004.Espinosa, O. 和 Moll, V. "On Some Definite Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function. Part I." Ramanujan J. 6, 159-188, 2002.Espinosa, O. 和 Moll, V. "A Generalized Polygamma Function." Integral Transforms Spec. Funct. 15, 101-115, 2004.Espinosa, O. 和 Moll, V. "The Evaluation of Tornheim Double Sums. I." J. Number Th. 116, 200-229, 2006.Glaisher, J. W. L. "On the Product 1^1.2^2.3^3...n^n." Messenger Math. 7, 43-47, 1878.Sloane, N. J. A. Sequences A075700 和 A102887 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 中引用

對數伽瑪函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "對數伽瑪函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LogGammaFunction.html

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