對數

對於以底數 的對數 ，定義為取 底數 的 冪 的反函式，即 。因此，對於任何 和 ,

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或等價地，

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對於任何底數，對數函式在 處有一個奇點。在上圖中，藍色曲線是以 2 為底數的對數 ()，黑色曲線是以 為底數的對數（自然對數 ），紅色曲線是以 10 為底數的對數（常用對數，即 ）。

請注意，雖然以 10 為底數的對數在本作品、計算器以及初等代數和微積分教科書中表示為 ，但數學家和高等數學教材一致使用符號 來表示 ，因此使用 來表示常用對數。因此，查閱文獻時需要格外小心。

情況更加複雜，因為數論學家（例如，Ivić 2003）通常使用符號 來表示巢狀自然對數 。

在 Wolfram 語言中，以 為底的對數實現為Log[b, x]，而Log[x] 給出自然對數，即，Log[E, x]，其中E是 Wolfram 語言中 e 的符號。

雖然三角函式的冪使用諸如 之類的符號表示，但 較少使用，而更常用符號 。

對數廣泛應用於科學和工程的許多領域，在這些領域中，量在很大範圍內變化。例如，聲音響度的分貝標度、地震震級的里氏震級和恆星亮度的天文標度都是對數標度。

的導數和不定積分由下式給出

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最小值 最大值 實部 虛部

對數也可以為複數引數定義，如上所示。如果將對數作為正向函式，則將底數取給定冪的函式稱為反對數。

對於 ， 稱為特徵， 稱為尾數。

對數的除法和乘法恆等式可以從恆等式推匯出來

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具體而言，對於 ,

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有許多性質可用於從一個對數底數更改為另一個對數底數，包括

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對數的一個有趣的性質來自於尋找一個數字 ，使得

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因此

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另一個對於任意 成立的相關恆等式由下式給出

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如果 和 是整數，其中一個整數有一個質因數，而另一個整數缺乏該質因數，則 log_ab 形式的數字是無理數。A. Baker 在超越數理論中向前邁進了一大步，證明了 alphalnbeta 形式的數字之和的超越性，其中 和 是代數數。